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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Alle komplexen Lösungen ber.
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Alle komplexen Lösungen ber.: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:52 Do 15.01.2009
Autor: b-anna-m

Aufgabe
[mm] z^4 [/mm] = 12 - 3j

Ich muss alle komplexen Lösungen dieser aufgabe berechnen:

[mm] z^4 [/mm] = 12 - 3j

ich habe schon gegoogelt und hier im forum rumgeschaut und eine formel entdeckt, nur leider verstehe ich sie nicht umzusetzen.
könnte mir jemand sagen wie man das noch berechnen kann ausser mit der moifre formel, oder wie die heisst? ;-P
oder könnte mir jemand erklären wie es mit der geht?
bin langsam am verzweifeln...

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Alle komplexen Lösungen ber.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:06 Fr 16.01.2009
Autor: Herby

Hallo Anna-Maria,

und herzlich [willkommenmr]


> [mm]z^4[/mm] = 12 - 3j
>  Ich muss alle komplexen Lösungen dieser aufgabe
> berechnen:
>  
> [mm]z^4[/mm] = 12 - 3j
>  
> ich habe schon gegoogelt und hier im forum rumgeschaut und
> eine formel entdeckt, nur leider verstehe ich sie nicht
> umzusetzen.
>  könnte mir jemand sagen wie man das noch berechnen kann
> ausser mit der moifre formel, oder wie die heisst? ;-P

Sie heißt MBMoivre-Formel

>  oder könnte mir jemand erklären wie es mit der geht?
>  bin langsam am verzweifeln...

[mm] z^4=\blue{12}-\green{3}j [/mm]

Wir benötigen aber eine allg. Form: [mm] $z^n [/mm] \ = \ [mm] \red{r}^n\cdot{}\left[\cos\left(n*\varphi\right)+i\cdot{}\sin\left(n*\varphi\right)\right]$ [/mm]

Hier ist:

[mm] \red{r}=\wurzel{\blue{x^2}+\green{y^2}} [/mm]

und

[mm] tan(\varphi)=\bruch{\green{y}}{\blue{x}} [/mm]


Den ganzen Kladderadatsch setzen wir in die Moivre-Formel ein:


[mm] $\wurzel[n]{z} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[n]{r}\cdot{}\left[\cos\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)+i\cdot{}\sin\left(\bruch{\varphi+k\cdot{}2\pi}{n}\right)\right]\ \text{mit}\quad [/mm] k\ = \ 0 \ ... \ (n-1)$


Versuch es mal - ist echt nicht schwer [ok]


Liebe Grüße
Herby
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Alle komplexen Lösungen ber.: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:26 Fr 16.01.2009
Autor: b-anna-m

also ist mein n hier 4 ?!
aber was ist das k?

da kommen ganz schräge zahlen raus :((

ich habe noch einen zusatz entdeckt:

bestimmen sie hierzu noch die n versch. lösungen:

[mm] z_{k} [/mm] = r(cos [mm] Phi_{k} [/mm] + j sin [mm] Phi_{k} [/mm]
Bezug
                        
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Alle komplexen Lösungen ber.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:31 Fr 16.01.2009
Autor: Herby

Hallo Anna-Maria,

> also ist mein n hier 4 ?!
>  aber was ist das k?

Das k lässt du von 0 bis 3 laufen für die einzelnen Wurzeln. 1. Wurzel ist k=0, 2. Wurzel ist k=1 usw.
  
> da kommen ganz schräge zahlen raus :((

ja, was denn z.B. ;-)

> ich habe noch einen zusatz entdeckt:
>  
> bestimmen sie hierzu noch die n versch. lösungen:
>  
> [mm]z_{k}[/mm] = r(cos [mm]Phi_{k}[/mm] + j sin [mm]Phi_{k}[/mm]  

das sind deine Wurzeln (Lösungen)

Schreib' mal was du raus hast.


Lg
Herby
Bezug
                                
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Alle komplexen Lösungen ber.: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:39 Fr 16.01.2009
Autor: b-anna-m

also  ich habe für
r = [mm] 3\wurzel{17} [/mm]
Phi = 0,245     (in bogenmaß)

dann bei dem ersten durchlauf mit k=0 habe ich
1,872 + j 0,115

hört sich suspekt an...
ich habs nicht so mit formeln
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Alle komplexen Lösungen ber.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:48 Fr 16.01.2009
Autor: Herby

Hallo,

> also  ich habe für
> r = [mm]3\wurzel{17}[/mm]

[daumenhoch]

>  Phi = 0,245     (in bogenmaß)

das kann nicht stimmen, denn dein Zeiger liegt wegen [mm] \red{-3i} [/mm] im vierten Quadranten. Es fehlt das "Minus"

[mm] \varphi=\red{-}0,2449 [/mm]

> dann bei dem ersten durchlauf mit k=0 habe ich
>  1,872 + j 0,115

ich erhalte [mm] z_0=3,51041-0,21526i [/mm]
  
> hört sich suspekt an...

Wie lautet denn deine [mm] \wurzel[4]{153} [/mm]


Lg
Herby
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Alle komplexen Lösungen ber.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:59 Fr 16.01.2009
Autor: b-anna-m

das mit dem minus stimmt
hab ich vergessen -.- wahrscheinlich schon zu spät...

also ich hab hier mal wie ich es gerechnet habe:

4wurzel aus [mm] 3\wurzel{17} [/mm] * [cos(-0,24498/4) + j sin (-0,24498/4)]
das ergibt dann mein ergebnis von vorher...

ich weiß nicht was du mit deiner letzten frage gemeint hast, mit dem 4. wurzel aus...
Bezug
                                                        
Bezug
Alle komplexen Lösungen ber.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:04 Fr 16.01.2009
Autor: Herby

Hallo,

deine Formelanwendung ist korrekt [ok]

> das mit dem minus stimmt
>  hab ich vergessen -.- wahrscheinlich schon zu spät...
>  
> also ich hab hier mal wie ich es gerechnet habe:
>  
> 4wurzel aus [mm]3\wurzel{17}[/mm] * [cos(-0,24498/4) + j sin
> (-0,24498/4)]
>  das ergibt dann mein ergebnis von vorher...
>  
> ich weiß nicht was du mit deiner letzten frage gemeint
> hast, mit dem 4. wurzel aus...

[mm] 3*\wurzel{17}=\wurzel{153} [/mm]

[mm] \wurzel[4]{153}=3,517 [/mm]

Ich befürchte, dass du hier etwas anderes heraus hast, oder dein Taschenrechner auf "deg" anstatt auf "rad" eingestellt ist.

Lg
Herby
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Alle komplexen Lösungen ber.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:17 Fr 16.01.2009
Autor: b-anna-m

ha jetzt hab ichs auch
hab nicht soweit gedacht das ich die 3 mit der 17 unter die wurzel machen kann wenn ich daraus wurzel aus 9 mache ^^

ich versuchs mal zu ende zu rechnen

auf jeden fall mal danke, und danke das du es um diese uhrzeit noch gemacht hast!!!
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