"Alle Ringhomomorphismen" < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Sa 25.10.2008 | | Autor: | cantor |
| Aufgabe | | Seien $ m, n [mm] \ge [/mm] 0 $ ganze Zahlen. Bestimme alle Ringhomomorphismen $ [mm] \Phi: \IZ [/mm] {/} m [mm] \IZ \to \IZ [/mm] {/} n [mm] \IZ [/mm] $ |
Hi,
wahrscheinlich eine einfache Aufgabe, kriegs aber nicht ganz hin, also die Abbildung die alles auf die Null in $ [mm] \IZ [/mm] {/} n [mm] \IZ [/mm] $ abbildet, erfüllt das natürlich, aber welche Abbildungen noch?
Mit $ [mm] \{\overline{0}, ... , \overline{m-1} \} [/mm] $ bezeichne ich die Elemente von [mm] $\IZ [/mm] {/} m [mm] \IZ$ [/mm] dann kann man wegen [mm] $\Phi (\overline{a} [/mm] + [mm] \overline{b}) [/mm] = [mm] \Phi(\overline{a}) [/mm] + [mm] \Phi(\overline{b})$ [/mm] folgern, dass für jeden Ringhomomorphismus auf jeden Fall schonmal [mm] $\Phi(\overline{a}) [/mm] = [mm] \Phi(\overline{1}) [/mm] * [mm] \overline{a}$ [/mm] gilt, oder?
Danke für Eure Hilfe,
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:57 Sa 25.10.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
also die Abbildung, die einem quasi ins Auge springt ist:
[mm] \phi: \IZ/m\IZ \to \IZ/n\IZ
[/mm]
[mm] a+m\IZ \mapsto a+n\IZ
[/mm]
jetzt müsste man erstmal überprüfen, ob [mm] \phi [/mm] überhaupt Ringhomomorphismus ist. Das müsste auch der einzige sein.
Um dies zu beweisen, kannst du z.B. zeigen, dass, falls [mm] \psi [/mm] ein anderer Ringhomomorphismus [mm] \IZ/m\IZ \to \IZ/n\IZ [/mm] ist, gilt: [mm] \phi=\psi. [/mm] Aber bin mir auch nicht so sicher.
Gruß
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Sa 25.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo.
[mm] $\Phi(\overline{a}) [/mm] = [mm] \Phi(\overline{1})\overline{a}$ [/mm] ist schon ein sehr guter ansatz. je nachdem, ob bei euch bei einem ringhomomorphismus [mm] $\varphi(1) [/mm] = 1$ gelten muss, steht schon der einzige kandidaten direkt da, wenn nein, musst du dir eben überlegen, was passiert, wenn du $1$ auf verschiedene elemente abbildest.
dann überlege dir mal, wann das wohldefiniert ist, das hat was mit der teilbarkeit von $m$ durch $n$ zu tuen (bedenke, dass [mm] $\varphi(0) [/mm] = 0$ gelten muss und [mm] $\overline{m} [/mm] = [mm] \overline{0}$ [/mm] in [mm] $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$).
[/mm]
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Sa 25.10.2008 | | Autor: | cantor |
Hallo, vielen Dank für eure Hinweise, denke ich weiß wie du das mit der Teilbarkeit meinst. Aber mir ist grade noch etwas elementareres aufgefallen. Ist die Abbildung, die ihr vorgeschlagen habt, überhaupt wohldefiniert?
Beispiel: $m=4, [mm] \IZ [/mm] / [mm] 4\IZ [/mm] = [mm] \{\overline{0}, ... \overline{3}\}, [/mm] n=7, [mm] \IZ [/mm] / [mm] 7\IZ [/mm] = [mm] \{\overline{0}, ... \overline{6}\}$
[/mm]
[mm] $\Phi: \IZ [/mm] / [mm] 4\IZ \to \IZ [/mm] / [mm] 7\IZ$ [/mm] mit [mm] $\Phi(\overline{a}) [/mm] = [mm] \overline{a}$ [/mm]
Es gilt in [mm] $\IZ [/mm] / [mm] 4\IZ$ [/mm] $ [mm] \overline{2} [/mm] = [mm] \overline{6}$ [/mm] aber [mm] $\Phi(\overline{2}) [/mm] = [mm] \overline{2} [/mm] $ und [mm] $\Phi(\overline{6}) [/mm] = [mm] \overline{6}$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:45 So 26.10.2008 | | Autor: | felixf |
Moin
> Hallo, vielen Dank für eure Hinweise, denke ich weiß wie du
> das mit der Teilbarkeit meinst. Aber mir ist grade noch
> etwas elementareres aufgefallen. Ist die Abbildung, die ihr
> vorgeschlagen habt, überhaupt wohldefiniert?
Nun, das hat ganz stark was mit der Teilbarkeit zu tun :)
> Beispiel: [mm]m=4, \IZ / 4\IZ = \{\overline{0}, ... \overline{3}\}, n=7, \IZ / 7\IZ = \{\overline{0}, ... \overline{6}\}[/mm]
>
> [mm]\Phi: \IZ / 4\IZ \to \IZ / 7\IZ[/mm] mit [mm]\Phi(\overline{a}) = \overline{a}[/mm]
> Es gilt in [mm]\IZ / 4\IZ[/mm] [mm]\overline{2} = \overline{6}[/mm] aber
> [mm]\Phi(\overline{2}) = \overline{2}[/mm] und [mm]\Phi(\overline{6}) = \overline{6}[/mm]
Genau, hier geht was schief. Das Problem ist halt, dass 7 nicht die Differenz $6 - 2$ teilt.
Ein letzter Tipp vielleicht: zu gewaehlten $n$ und $m$ gibt es entweder keinen oder genau einen Ringhomomorphismus von [mm] $\IZ/n\IZ \to \IZ/m\IZ$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:16 So 26.10.2008 | | Autor: | cantor |
dann ist alles klar :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:59 So 26.10.2008 | | Autor: | andreas |
hallo
vielleicht noch ein alternativer weg: anwendung des homomorphissatz auf die natürlichen projektionen [mm] $\mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ [/mm] und [mm] $\mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ [/mm] leifert auch genau diese teilbarkeitsbedingung für die fortsetzung.
grüße
andreas
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