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Forum "Funktionalanalysis" - Alle Normen in IR^n äquivalent
Alle Normen in IR^n äquivalent < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Alle Normen in IR^n äquivalent: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:17 So 12.05.2013
Autor: Herbart

Aufgabe
Kann man sagen alle auf der Menge aller beschränkten Folgen in [mm] \IR [/mm] definierten Normen sind ebenfalls äquivalent?

Kann man den Satz "Alle Normen in [mm] \IR^n [/mm] sind äquivalent." auch auf die Menge aller beschränkten Folgen in [mm] \IR [/mm] übertragen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Alle Normen in IR^n äquivalent: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 So 12.05.2013
Autor: fred97


> Kann man sagen alle auf der Menge aller beschränkten
> Folgen in [mm]\IR[/mm] definierten Normen sind ebenfalls
> äquivalent?
>  Kann man den Satz "Alle Normen in [mm]\IR^n[/mm] sind äquivalent."
> auch auf die Menge aller beschränkten Folgen in [mm]\IR[/mm]
> übertragen?

Nein. Die Normen

[mm] ||(x_n)||_1 [/mm] :=  sup [mm] \{|x_n|: n \in \IN \} [/mm]

und

[mm] ||(x_n)||_2 [/mm] :=  sup [mm] \{|x_n|/n: n \in \IN \} [/mm]

sind nicht äquivalent.

FRED

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
                
Bezug
Alle Normen in IR^n äquivalent: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:17 So 12.05.2013
Autor: Herbart

Danke für die Antwort. Schade, dass es nicht für die beschriebene Menge gilt, wäre schön gewesen ;-)

Bezug
                
Bezug
Alle Normen in IR^n äquivalent: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 So 12.05.2013
Autor: Herbart

Wenn ich das Beispiel richtig verstehe, gilt zwar, dass die Folgen, die bzgl. $ [mm] ||(x_n)||_1 [/mm] $ konvergieren auch bzgl. $ [mm] ||(x_n)||_2 [/mm] $ konvergieren, aber nicht umgekehrt, da ich hierzu ein Gegenbeispiel finden kann.
Ist das korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Alle Normen in IR^n äquivalent: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 So 12.05.2013
Autor: felixf

Moin!

> Wenn ich das Beispiel richtig verstehe, gilt zwar, dass die
> Folgen, die bzgl. [mm]||(x_n)||_1[/mm] konvergieren auch bzgl.
> [mm]||(x_n)||_2[/mm] konvergieren, aber nicht umgekehrt, da ich
> hierzu ein Gegenbeispiel finden kann.

Es gibt sogar ein sehr einfaches Gegenbeispiel. Aber ich vermute jetzt mal, dass du genau dieses gefunden hast :)

>  Ist das korrekt?

Ja, das ist korrekt.

LG Felix



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