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| Aufgabe | Seien R ein Integritätsring und [mm] \varphi [/mm] : R[X] -> R[X] ein R-Algebrenhomomorphismus. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
i) [mm] \varphi [/mm] ist ein Isomorphismus
ii) Es existieren a [mm] \in [/mm] R*, b [mm] \in [/mm] R : [mm] \varphi(X) [/mm] = aX + b |
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Hallo Leute,
habe große Probleme mit der obigen Aufgabe.
Zu Teil i) fällt mir nur ein, dass Ringhomomorphismen f und g mit R -> R[X] existieren, sodass g = [mm] \varphi \circ [/mm] f gilt (da man (R[X],f), (R[X],g) als R-Algebren auffassen kann und [mm] \varphi [/mm] der zugehörige Algebrenhomomorphismus ist). Jetzt weiß ich leider nicht, wie es weitergehen soll.
in Teil ii) sollte man die Umkehrabbildung [mm] \varphi^{-1} [/mm] raten können (war auch Hinweis des Professors). Naheliegend wäre für mich, dass [mm] \varphi^{-1}(f) [/mm] = [mm] a^{-1}(f-b) [/mm] gelten für ein bel. f [mm] \in [/mm] R[X], da diese Abbildung ein lineares Polynom aX + b auf X schicken würde. Ich hab auch nachgerechnet, dass diese Abb. bijektiv ist, allerdings kann ich nicht nachweisen, dass es sich hierbei um einen Ringhomomorphismus handelt.
Habe ich mich hier verrechnet oder passt die Abbildung nicht?
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
LG Anfänger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 23.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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