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Forum "Algebra" - Algebraischer Abschluss von Q
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Algebraischer Abschluss von Q: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:19 Do 01.08.2013
Autor: jhx

Aufgabe
Ist der algebraische Abschluss von [mm] $\mathbb{Q}$ $A=\{x\in\mathbb{C}; x $ ist algebraisch über $\mathbb{Q}\}$ [/mm] abzählbar?

Hi, oben steht die Aufgabe. Meine Vermutung ist Ja, denn für jedes Algebraische Element existiert ein minimalpolynom. Also kann es höchstens soviele algebraische Elemente wie Polynome über [mm] $\mathbb{Q}$ [/mm] geben. Und das sind abzählbar viele. Richtig??

lg
jhx


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Algebraischer Abschluss von Q: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Do 01.08.2013
Autor: felixf

Moin,

> Ist der algebraische Abschluss von [mm]\mathbb{Q}[/mm]
> [mm]A=\{x\in\mathbb{C}; x[/mm] ist algebraisch über [mm]\mathbb{Q}\}[/mm]
> abzählbar?
>
>  Hi, oben steht die Aufgabe. Meine Vermutung ist Ja, denn
> für jedes Algebraische Element existiert ein
> minimalpolynom. Also kann es höchstens soviele
> algebraische Elemente wie Polynome über [mm]\mathbb{Q}[/mm] geben.
> Und das sind abzählbar viele. Richtig??

fast. Du musst noch beruecksichtigen, dass ein irreduzibles Polynom von Grad $n$ genau $n$ verschiedene Nullstellen hat. Somit gibt es weniger Minimalpolynome als algebraische Elemente.

LG Felix


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