Algebraischer Abschluss < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:51 Mo 17.12.2007 | | Autor: | Tobse |
| Aufgabe | | Sei L/K eine algebraische Körpererweiterunt. Zeigen Sie, dass L genau ein algebraischer Abschluss von K ist, wenn es zu jeder endlichen, algebraischen Körpererweiterung E/K von K einen K-linearen Körperhomomorphismus E [mm] \to [/mm] L gibt. |
Hallo,
ich liege mit meinem Übungspartner bei ca. 45% der Übungsaufgaben. Die Grenze für die Klausurzulassung ist bei 40%. Auf dem neuen Übungszettel können wir leider schon wieder 3 von 5 Aufgaben nicht. Wenn wir unseren Prozentsatz halten wollen, dann brauchen wir noch eine Aufgabe!
Bitte helft uns!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Schonmal danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Di 18.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei L/K eine algebraische Körpererweiterunt. Zeigen Sie,
> dass L genau ein algebraischer Abschluss von K ist, wenn es
> zu jeder endlichen, algebraischen Körpererweiterung E/K von
> K einen K-linearen Körperhomomorphismus E [mm]\to[/mm] L gibt.
>
> Hallo,
> ich liege mit meinem Übungspartner bei ca. 45% der
> Übungsaufgaben. Die Grenze für die Klausurzulassung ist bei
> 40%. Auf dem neuen Übungszettel können wir leider schon
> wieder 3 von 5 Aufgaben nicht. Wenn wir unseren Prozentsatz
> halten wollen, dann brauchen wir noch eine Aufgabe!
Loesen muesst ihr sie schon selber. Aber hier koennt ihr Hinweise, Tipps und Ansaetze bekommen. Also:
Es sind zwei Implikationen zu beweisen.
Wenn $L$ algebraischer Abschluss von $K$ ist und $E/K$ algebraisch ist, dann kannst du ja $E = [mm] K(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$ [/mm] schreiben. Fuehr das ganze jetzt auf den Fall $E = [mm] K(\alpha)$ [/mm] zurueck (also $n = 1$), indem du erstmal [mm] $K(\alpha_1)$ [/mm] per $K$-Einbettung einbettest, dann [mm] $K(\alpha_1, \alpha_2) [/mm] = [mm] K(\alpha_1)(\alpha_2)$ [/mm] per [mm] $K(\alpha_1)$-Einbettung [/mm] einbettest, etc.
Zur anderen Implikation. Du musst ja zeigen, dass $L$ algebraisch abgeschlossen ist. Nimm dir also ein Polynom $f [mm] \in [/mm] K[x]$. Jetzt musst du zeigen, dass es ueber $L$ in Linearfaktoren zerfaellt. Gibt es eine endliche Erweiterung von $K$, in der es schon in Linearfaktoren zerfaellt? Wenn ja, was kannst du mit dieser machen (denk an die Eigenschaft aus der Aufgabenstellung)?
LG Felix
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