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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Mi 01.06.2011 | | Autor: | tess1 |
| Aufgabe | | Man zeige, dass die algebraischen Elemente über K in L > K einen Zwischenkörper H, L > K bilden. |
kann mir jemand helfen die Aufgabe zu lösen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 Do 09.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin meili !
> > Man zeige, dass die algebraischen Elemente über K in L > K
> > einen Zwischenkörper H, L > K bilden.
> > kann mir jemand helfen die Aufgabe zu lösen.
> >
> Vielleicht hilft Dir der folgende
> ![[]](/images/popup.gif) Link
> weiter.
>
> Ich vermute, dass diese Aussage ohne weitere Bedingungen an
> L und K falsch ist.
Das stimmt nicht. Die Aussage ist korrekt.
> Angenommen L ist eine rein transzendente Erweiterung von
> K.
In dem Fall gilt $x [mm] \in [/mm] L$ algebraisch ueber $K$ [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] $x [mm] \in [/mm] K$.
Damit ist $K$ der gesuchte Zwischenkoerper, der alle ueber $K$ alg. Elemente in $L$ umfasst.
> Oder gibt es dann trotzdem einen Teilkörper H von L, der
> zu den
> algebraischen Elementen über K isomorph ist?
Hier ist nach dem Koerper der ueber $K$ algebraischen Elementen gefragt, die in $L$ liegen. Nicht nach den Koerper aller ueber $K$ alg. Elementen (also irgendein alg. Abschluss von $K$).
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Do 09.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Man zeige, dass die algebraischen Elemente über K in L > K
> einen Zwischenkörper H, L > K bilden.
Hattet ihr schon gezeigt, dass jede endliche Erweiterung algebraisch ist?
Damit kommt man wie folgt weiter: sind $a, b [mm] \in [/mm] L$ algebraisch ueber $K$, so ist $K(a)$ eine endliche Erweiterung von $K$. Da $b$ ebenfalls alg. ueber $K(a)$ ist, ist $K(a)(b)$ ebenfalls endlich ueber $K(a)$. Nach dem Gradsatz ist also $K(a, b)$ endlich ueber $K$, womit insb. alle Elemente alg. ueber $K$ sind. Insbesondere auch $a + b$, $a - b$, $a b$ und $a [mm] b^{-1}$ [/mm] falls $b [mm] \neq [/mm] 0$.
Daraus folgt dann: die Menge der ueber $K$ alg. Elemente in $L$ bildet einen Zwischenkoerper der Erweiterung $L / K$.
LG Felix
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
