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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:38 Di 13.03.2007 | | Autor: | uppi |
| Aufgabe | | Sei A eine Menge mit zwei binären Operationen + und * (Mal). Es sei dabei * distributiv über + , und es existiere ein Einselement für * . Ferner sei + assoziativ und regulär. Man zeige, dass daraus die Kommutativität von + folgt. |
Laut meinem Uniprofessor ist diese Aufgabe mit einem "kleinen" Trick lösbar, auf den ich bis jetzt leider noch nicht gestoßen bin. auch verstehe ich nicht, was mit "* distributiv über +" gemeint ist :-( Danke jedenfalls für jeden gut gemeinten Tipp!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 Di 13.03.2007 | | Autor: | Ankh |
Distributivität:
$a*(b+c) = a*b + a*c$ für alle $a, b, c [mm] \in [/mm] A$
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ·
Seien a,b [mm] \in [/mm] A.
Es ist
(a+b)+(-1)*(b+a) [n.V. gibt es die 1, und wg. + regulär auch die -1]
=(a+b)+((-1)*b+(-1)*a) [* ist distributiv über +]
=a + (b+((-1)*b + (-1)*a)) [+ ist assoziativ]
=a+((b+(-1)*b)+(-1)*a) "
=1*a+((1*b+(-1)*b)+(-1)*a) [ A enthält 1]
=1*a+((1+(-1))*b+(-1)*a) [* distributiv]
=1*a+( 0*b +(-1)*a)
=1*a+(0+(-1)*a) [0b=(0+0)b=0b+0b ==>
0=0b+(-0b)=0b+0b+(-0b)=0b]
=1*a+(-1)*a=(1+(-1))*a=0a=0
Also ist
(a+b)+(-1)*(b+a) =0
==>(a+b)+(-1)*(b+a) +(b+a)=0+(b+a)
==> (a+b)=(b+a)
Ich will nicht ausschließen, daß man noch schneller und geschickter ins Ziel kommen kann, aber ein möglicher Weg ist's.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Di 13.03.2007 | | Autor: | uppi |
Vielen herzlichen Dank, liebe Angela! Das ist ja mal ein flottes Forum, wo man überaus kompetent beraten wird. Kann man nur weiterempfehlen! Also nochmals Danke an all jene, die sich da bemüht haben!
Gruß, Uppi
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