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In einem Laden ist eine Alarmanlage eingebaut, die im Falle eines Einbruchs mit Wahrscheinlichkeit 0.98 die Polizei alarmiert. In einer Nacht ohne Einbruch wird mit Wahrscheinlichkeit 0.001 Alarm ausgelöst. (Sturm, Erdbeben...) Die Einbruchswahrscheinlichkeit für eine Nacht ist 0.005. Die Anlage hat gerade Alarm gegeben. Man berechne die Wahrscheinlichkeit, dass gerade wirklich eingebrochen wurde.
Ich weiß, dass ich den Satz von Bayes benutzen muss. Aber könntet ihr mir vielleicht dabei helfen, wie ich herausfinde, was ich als A setze, was als B und wie berechne ich A/B?
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Hi, sternchen,
> In einem Laden ist eine Alarmanlage eingebaut, die im Falle
> eines Einbruchs mit Wahrscheinlichkeit 0.98 die Polizei
> alarmiert. In einer Nacht ohne Einbruch wird mit
> Wahrscheinlichkeit 0.001 Alarm ausgelöst. (Sturm,
> Erdbeben...) Die Einbruchswahrscheinlichkeit für eine Nacht
> ist 0.005. Die Anlage hat gerade Alarm gegeben. Man
> berechne die Wahrscheinlichkeit, dass gerade wirklich
> eingebrochen wurde.
> Ich weiß, dass ich den Satz von Bayes benutzen muss. Aber
> könntet ihr mir vielleicht dabei helfen, wie ich
> herausfinde, was ich als A setze, was als B und wie
> berechne ich A/B?
Mit dem Satz von Bayes kenne ich mich nicht so gut aus. Daher berechne ich es stückweise, z.T. mit Hilfe von bedingten Wahrscheinlichkeiten.
Meine Abkürzungen:
E = "es wurde eingebrochen"; A = "es wird Alarm ausgelöst".
Gegeben ist zunächst:
P(E) = 0,005
[mm] P_{E}(A) [/mm] = 0,98
[mm] P_{\overline{E}}(A) [/mm] = 0,001
Daraus kann man nun unter Anderem berechnen:
[mm] P(\overline{E}) [/mm] = 0,995
P(A [mm] \cap [/mm] E) = 0,98*0,005 = 0,0049
P(A [mm] \cap \overline{E}) [/mm] = 0,001*0,995 = 0,000995
und
P(A) = 0,0049 + 0,0009995 = 0,006095
Damit erhält man für die gesuchte Wahrscheinlichkeit
[mm] P_{A}(E) [/mm] = [mm] \bruch{0,0049}{0,006095} \approx [/mm] 0,804
(Rechenfehler nicht auszuschließen!)
mfG!
Zwerglein
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