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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Di 28.04.2009 | | Autor: | MissRHCP |
| Aufgabe | Gegeben ist eine affine Ebene (P,G)
Aufgabe 5) Teil 4)
Bestimme für P ist endlich die Anzahl der Geraden, in Abhängigkeit von der Anzahl der Punkte auf einer Geraden. |
Ich habe bereits gezeigt, dass [mm] |P|=k^{2} [/mm] also eine Quadratzahl.
Außerdem weiß ich, dass auf jeder Geraden k Punkte liegen.
Wie kann ich damit weiterarbeiten?
LG Anne
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Mi 29.04.2009 | | Autor: | tulpe7 |
wie hast du bewiesen,dass |p| eine quadratzahl ist???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:04 Do 30.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> wie hast du bewiesen,dass |p| eine quadratzahl ist???
Angenommen, du weisst schon dass je zwei Geraden die gleiche Anzahl von Punkten enthalten, sagen wir $k$.
Dann nimmst du dir zwei nicht-parallele Geraden [mm] $G_x$, $G_y$, [/mm] die durch den gleichen Punkt [mm] $P_0$ [/mm] gehen.
Zu jedem Punkt $P$ gibt es genau eine zu [mm] $G_x$ [/mm] parallele Gerade [mm] $G_{P,x}$ [/mm] und eine zu [mm] $G_y$ [/mm] parallele Gerade [mm] $G_{P,y}$ [/mm] mit $P [mm] \in G_{P,x} \cap G_{P,y}$. [/mm] Zeige, dass hierdurch eindeutig ein Paar [mm] $(G_x \cap G_{P,y}, G_y \cap G_{P,x})$ [/mm] von Punkten definiert wird.
Umgekehrt zeige, dass zu zwei solchen Punkten $(Q, Q') [mm] \in G_x \times G_y$ [/mm] genau ein Punkt aus der Ebene gehoert.
Damit bekommst du, dass es insgesamt [mm] $|G_x \times G_y| [/mm] = [mm] |G_x| \cdot |G_y| [/mm] = [mm] k^2$ [/mm] Punkte gibt.
(Wenn du die obige Konstruktion komisch findest: zeichne das mal auf. Z.B. indem du [mm] $G_x$ [/mm] als die $x$-Achse nimmst und [mm] $G_y$ [/mm] als die $y$-Achse.)
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:00 Do 30.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Anne
> Aufgabe 5) Teil 4)
> Bestimme für P ist endlich die Anzahl der Geraden, in
> Abhängigkeit von der Anzahl der Punkte auf einer Geraden.
> Ich habe bereits gezeigt, dass [mm]|P|=k^{2}[/mm] also eine
> Quadratzahl.
> Außerdem weiß ich, dass auf jeder Geraden k Punkte
> liegen.
>
> Wie kann ich damit weiterarbeiten?
Waehle einen Punkt [mm] $P_0$ [/mm] fest.
Zu jeder Gerade gibt es genau eine dazu Parallele, die durch [mm] $P_0$ [/mm] geht. Wenn du also die Geraden zaehlst, die durch [mm] $P_0$ [/mm] gehen und du diese Anzahl mit $k$ multiplizierst, hast du die gesamte Anzahl von Gerade.
So. Zu jedem der [mm] $k^2 [/mm] - 1$ Punkte $P$ gibt es nun genau eine Gerade durch [mm] $P_0$ [/mm] und $P$. Allerdings koennen fuer mehrere Punkte die gleichen Geraden herauskommen. Fuer wieviele Punkte stimmen die Geraden jeweils ueberein? Wenn du [mm] $k^2 [/mm] - 1$ durch diese Zahl teilst, bekommst du die Anzahl der Geraden, die durch [mm] $P_0$ [/mm] gehen.
LG Felix
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