Adjunktion von Nullstellen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich schaue mir gerade (zur Vorbereitung auf meine Algebra Prüfung) das Kapital über Körpererweiterungen an. Dort bin ich gerade auf ein Problem gestossen, von dem ich eigentlich gedacht hatte, ich hätte es verstanden. Naja, jedenfalls bin ich mir bei der Konstruktion nicht mehr ganz sicher, deshalb hier die Nachfrage.
Es geht um die Adjunktion von Nullstellen zu einem bestehenden Körper, und zwar die Konstruktion über das Herausteilen eines Ideals.
Am Beispiel:
[mm]K[/mm] ein Körper.
Betrachten wir [mm]f(x) := x^2 + 1 \in K[x][/mm], so hat [mm]f[/mm] ja bekanntlicherweise keine reellen Nullstellen.
Jetzt wollen wir uns einen Körper erzeugen, der die passenden Nullstellen enthält.
Man betrachtet [mm]L := K[t] / (f(t))[/mm].
Dabei soll [mm]I := (f(t))[/mm] das von [mm]f(t)[/mm] erzeugte Ideal sein, und [mm]K[t][/mm] der Polynomring über [mm]K[/mm] in [mm]t[/mm].
Jetzt sagt man so salopp dass [mm]f[/mm] dann eine Nullstelle hat. So, für mich bedeutet das erst einmal dass [mm]f[/mm] eine Nullstellen im neuen Körper [mm]L[/mm] hat. Soweit so gut.
Nur stellt sich jetzt die Frage, wie soll die aussehen?
Nach meinen Aufzeichnungen hat die Nullstelle die Form [mm]\xi := t + I [/mm]. Ich würde jetzt also den Einsetzungshomomorphismus [mm]ev_{\xi}[/mm] betrachten und [mm]f[/mm] in diesen einsetzen.
Es sollte dann gelten [mm]ev_{\xi}(f) = f(\xi) = (t + I)^2 + 1 = 0[/mm]
Nach den Rechenregeln für Faktorstrukturen gilt ja [mm](t + I)^2 = (t + I) * (t + I) = t^2 + I[/mm], also folgt [mm]ev_{\xi}(f) = t^2 + 1 + I = 0[/mm], denn [mm]t^2 + 1 \in I[/mm] nach Definition von I.
Jetzt die Frage: Ist das alles so richtig, oder habe ich irgendwo einen Fehler eingebaut der mit verborgen geblieben ist?
Grüße,
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:04 Mi 01.10.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Tobias!
> Nach den Rechenregeln für Faktorstrukturen gilt ja [mm](t + I)^2 = (t + I) * (t + I) = t^2 + I[/mm], also folgt [mm]ev_{\xi}(f) = t^2 + 1 + I = 0[/mm], denn [mm]t^2 + 1 \in I[/mm] nach Definition von I.
Das ist alles sehr schön und richtig, was man evtl. bemängeln könnte, wäre die etwas inkonsequente Schreibweise: In der Gl.
[mm] t^{2} [/mm] + 1 + I = 0
steht links eine Restklasse, also eine Menge. Was ist die 0 rechts? Vielleicht hätte man da besser (statt der 0) I geschrieben. Oder alles mit Querstrich.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Do 02.10.2008 | | Autor: | LiquidAcid |
Hallo Dieter,
danke für eine Antwort. Das mit dem Nullelement stimmt natürlich, das werde ich in meinen Aufzeichnungen gleich erstmal richtigstellen.
Wenn sonst alles richtig ist, dann bin ich ja beruhigt.
Gruß,
Tobias
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Hallo Dieter,
mir fällt da gerade noch etwas ein. In meinem Falle könnte man ja den Körper [mm]K[/mm] als die reellen Zahlen wählen, dann wäre das [mm]f[/mm] ein irreduzibles Polynom (d.h. ein irreduzibles Element aus dem Ring [mm]K[x][/mm]).
Meine Frage zielt jetzt darauf ab:
Ich bin mir nicht ganz sicher was das Ideal erfüllen muss, welches man aus dem Ausgangspolynomring herausteilt. Nach meinen bisherigen Aufzeichnungen muss es irreduzibel (über dem Polynomring) sein, damit [mm]L[/mm] dann auch ein Körper ist.
Ist das so richtig, und was geht schief wenn das Polynom nicht irreduzibel ist?
Ich kenne die Äquivalenz "[mm]R/I[/mm] ist ein Körper [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]I[/mm] ist ein maximales Ideal", ist das der richtige Ansatz?
Und muss ich bei dem ganzen Unterfangen aus dem Ausgangsposting nicht sowieso dann vorraussetzen, dass [mm]K[/mm] schon der Körper der reellen Zahlen ist, ansonsten kann ich ja gar keine Aussage darüber treffen, ob das Polynom [mm]f[/mm] irreduzibel ist.
Ich hätte ja auch [mm]K = \IC[/mm] haben können, dann ginge das ja alles nicht, richtig?
Grüße,
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Do 02.10.2008 | | Autor: | statler |
> Hallo Dieter,
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> mir fällt da gerade noch etwas ein. In meinem Falle könnte
> man ja den Körper [mm]K[/mm] als die reellen Zahlen wählen, dann
> wäre das [mm]f[/mm] ein irreduzibles Polynom (d.h. ein irreduzibles
> Element aus dem Ring [mm]K[x][/mm]).
>
> Meine Frage zielt jetzt darauf ab:
> Ich bin mir nicht ganz sicher was das Ideal erfüllen muss,
> welches man aus dem Ausgangspolynomring herausteilt. Nach
> meinen bisherigen Aufzeichnungen muss es irreduzibel (über
> dem Polynomring) sein, damit [mm]L[/mm] dann auch ein Körper ist.
>
> Ist das so richtig, und was geht schief wenn das Polynom
> nicht irreduzibel ist?
Wenn das Polynom nicht irreduzibel ist, hat der Restklassenring Nullteiler und ist dann sicher kein Körper mehr. In diesem Fall, wo das Polynom vom Grad 2 ist, lägen die Nullstellen bereits in K, und es wäre nichts mehr zu adjungieren. Der Restklassenring wäre dann isomorph zu K [mm] \oplus [/mm] K.
Bei meiner Antwort bin ich davon ausgegangen, daß f irreduzibel ist.
> Ich kenne die Äquivalenz "[mm]R/I[/mm] ist ein Körper
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] [mm]I[/mm] ist ein maximales Ideal", ist das der
> richtige Ansatz?
>
> Und muss ich bei dem ganzen Unterfangen aus dem
> Ausgangsposting nicht sowieso dann voraussetzen, dass [mm]K[/mm]
> schon der Körper der reellen Zahlen ist, ansonsten kann ich
> ja gar keine Aussage darüber treffen, ob das Polynom [mm]f[/mm]
> irreduzibel ist.
Wenn K z. B. der Körper [mm] \IZ/(3) [/mm] ist (der Restklassenkörper mod 3), dann ist f(X) = [mm] X^{2} [/mm] + 1 auch irreduzibel, und deine obige Konstruktion gibt einen Körper mit 9 Elementen.
> Ich hätte ja auch [mm]K = \IC[/mm] haben können, dann ginge das ja
> alles nicht, richtig?
Nee, das ginge nicht, also ja (s. o.). Die Beantwortung von verneinten Fragen ist schwierig.
Gruß aus HH-Eimsbüttel
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:05 Fr 03.10.2008 | | Autor: | LiquidAcid |
Hallo Dieter!
> Wenn das Polynom nicht irreduzibel ist, hat der
> Restklassenring Nullteiler und ist dann sicher kein Körper
> mehr. In diesem Fall, wo das Polynom vom Grad 2 ist, lägen
> die Nullstellen bereits in K, und es wäre nichts mehr zu
> adjungieren. Der Restklassenring wäre dann isomorph zu K
> [mm]\oplus[/mm] K.
OK, das mit den Nullteilern hatte ich mir auch dabei gedacht.
> Bei meiner Antwort bin ich davon ausgegangen, daß f
> irreduzibel ist.
Habe ich wohl implizit auch vorausgesetzt, obwohl ich es nicht dazu geschrieben hatte. Das ist mir wie gesagt erst nachher aufgefallen.
> Wenn K z. B. der Körper [mm]\IZ/(3)[/mm] ist (der Restklassenkörper
> mod 3), dann ist f(X) = [mm]X^{2}[/mm] + 1 auch irreduzibel, und
> deine obige Konstruktion gibt einen Körper mit 9
> Elementen.
Danke, das ist gut zu wissen. :)
> Nee, das ginge nicht, also ja (s. o.). Die Beantwortung von
> verneinten Fragen ist schwierig.
Ich denke ich verstehe was du mir sagen willst ;)
Nochmals vielen Dank!
Gruß,
Tobias
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