Adjunkte im Restklassenring < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:05 Di 13.11.2007 | | Autor: | Schalk |
| Aufgabe | Sei A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 } \in M_{33} (\IZ [/mm] / 6 [mm] \IZ).
[/mm]
Berechnen Sie die Adjunkte von A und, falls dies möglich ist, [mm] A^{-1}. [/mm] |
Wie man die Adjunkte im reelen Raum berechnet, weiß ich. Leider tue ich mich mit den Restklassen schwer... Wie berechne ich denn dabei die Einträge? Werden die Reste dann sozusagen die neuen Einträge? Berechne ich beispielsweise a_11 von der Adjunkten. Dann berechne ich det (A_11) = det [mm] \pmat{ 2 & 2 \\ 2 & 3 } [/mm] = 0 - 4 = -4 ? Ist das richtig?
Danke für Eure Hilfe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Mi 14.11.2007 | | Autor: | o.tacke |
Hallo, Thorsten!
Du kannst in [mm] \IZ/n\IZ [/mm] (kommutativer Ring) erst einmal genauso rechnen wie in einem Körper. Es fehlen erst einmal "nur" die multiplikativen Inversen zum Körper und die brauchen wir nicht.
Das heißt, du bestimmst erst einmal die Elemente [mm] a^{'}_{i j} [/mm] der adjunkten Matrix [mm] A^{Ad} [/mm] wie gewohnt mit...
[mm] A^{Ad}=(a^{'}_{i j}) [/mm] mit [mm] a^{'}_{i j}=(-1)^{i+j}det(A_{j i}).
[/mm]
Für dein Beispiel (wichtig ist zu bedenken, dass du in mod 6 rechnest):
[mm] a^{'}_{1 1}= (-1)^{1+1}det(A_{1 1}) [/mm] = [mm] (-1^)^2det\pmat{ 2 & 2 \\ 2 & 3 }=1\cdot(2\cdot3-2\cdot2)=2
[/mm]
Wenn das Ergebnis jeweils den Bereich von [mm] \IZ/6\IZ [/mm] verlässt, musst du das halt umrechnen. Beispiel:
[mm] a^{'}_{2 1} [/mm] = [mm] (-1)^{2+1}det(A_{1 2}) [/mm] = [mm] (-1)^3det\pmat{ 3 & 3 \\ 1 & 2 }=-1\cdot(3\cdot3-1\cdot2)=-1\cdot7=-7 [/mm] (= 5 in [mm] \IZ/6\IZ).
[/mm]
Also [mm] A^{Ad}=\pmat{ 2 & * & * \\ 5 & * & * \\ * & * & * }...
[/mm]
Jetzt prüfst du, ob A invertierbar ist, indem du schaust, ob det(A) in [mm] \IZ/6\IZ [/mm] invertierbar ist. det(A) bekommst du z. B. mit der Sarrus-Formel heraus (modulo 6 rechnen!). Tipp: ist invertierbar.
Und [mm] A^{-1} [/mm] ist dann lediglich noch das Ausrechnen von [mm] det(A)^{-1}A^{Ad} [/mm] (wieder modulo 6 rechnen).
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