Adjunkte als Produkt < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] A\in [/mm] GL(n,C), [mm] n\ge2, [/mm] und sei adj(A) die Adjunkte von A. Zeigen Sie, dass es n-1 Matrizen [mm] A_{j}\in\IC^{n,n} [/mm] mit [mm] det(-A_{j})=det(A) [/mm] für j=1,2,...,n-1 und
[mm] adj(A)=\produkt_{j=1}^{n-1}A_{j} [/mm] gibt. |
Meine Idee war, wegen [mm] A^{-1}=det(A)^{-1}\*adj(A) \gdw adj(A)=det(A)\*A^{-1} [/mm] die inverse Matrix von A mittels Elementarmatrizen zu bilden, diese dann geschickt zusammenzuziehen um auf n-1-viele zu kommen und dann vielleicht die Determinanten der entstandenen Matrizen gegen det(A) abzuschätzen.
Es gibt also [mm] G_{i,j}(\lambda), [/mm] die A zu einer oberen Dreiecksmatrix machen, dann i.A. n-viele [mm] M_i(\lambda) [/mm] die die Diagonalelemente der oberen Dreiecksmatrix zu 1 machen und dann nochmal [mm] G_{i,j}(\lambda), [/mm] die dann daraus die Treppennormalform machen. (also [mm] G_{i,j}(\lambda) [/mm] addiert das [mm] \lambda-fache [/mm] der i-ten zur j-ten Zeile hinzu und [mm] M_i(\lambda) [/mm] multipliziert die i-te Ziele mit [mm] \lambda)
[/mm]
Das Produkt dieser Elementarmatrizen multipliziert mit det(A) ist also die Adjunkte von A. Allerdings sehe ich keine Möglichkeit, die Elementarmatrizen so zusammenzuziehen, dass man die gewünschten [mm] A_j [/mm] mit [mm] det(-A_j)=det(A) [/mm] erhält.
Die [mm] G_{i,j}(\lambda) [/mm] verändern ja nicht die Determinante und durch [mm] M_i(\lambda) [/mm] wird die Determinante [mm] ver-\lambda-facht. [/mm] Diese [mm] \lambda [/mm] hängen dann aber von den Einträgen der Matrix ab, die ja unbekannt sind.
Kann man sich diese [mm] A_j [/mm] aus den Elementarmatrizen basteln oder ist schon meine Grundidee falsch?
Vielen Dank für die Antworten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 14.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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