Adjungierte Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Fr 23.03.2012 | | Autor: | Pia90 |
Hallo zusammen,
kann mir jemand etwas zur adjungierten Abbildung sagen? Also irgendwie was dahinter steckt?!
Wir haben in unserem Skript folgenden Satz:
"Seien [mm] V_1, V_2, W_1, W_2 [/mm] endlich-dimensionale K-Vektorräume mit [mm] dim(V_1) [/mm] = [mm] dim(W_1) [/mm] und [mm] dim(V_2) [/mm] = [mm] dim(W_2). [/mm] Seien [mm] b_1 [/mm] : [mm] V_1 [/mm] x [mm] W_1 \to [/mm] K und [mm] b_2 [/mm] : [mm] V_2 [/mm] x [mm] W_2 \to [/mm] K zwei nicht ausgeartete Bilinearformen. Sei f : [mm] V_1 \to V_2 [/mm] ein Homomorphismus. Es gibt eine eindeutig bestimmte Abbildung f{^} : [mm] W_2 \to W_1 [/mm] so, dass
[mm] b_2 (f(v_1), w_2) [/mm] = [mm] b_1 (v_1, f{^}(w_2))
[/mm]
für alle [mm] v_1 \in V_1 [/mm] und [mm] w_2 \in W_2 [/mm] gilt. Die Abbildung f{^} nennt man die zu f adjungierte Abbildung (bezüglich [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2)."
[/mm]
Ich steige einfach nicht dahinter.... Die adjungierte Abbildung taucht dann auch wieder bei den Spektralsätzen auf, aber ich kann mit der adjungierten Abbildung einfach nichts anfangen...
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 Sa 24.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> kann mir jemand etwas zur adjungierten Abbildung sagen?
> Also irgendwie was dahinter steckt?!
>
> Wir haben in unserem Skript folgenden Satz:
> "Seien [mm]V_1, V_2, W_1, W_2[/mm] endlich-dimensionale
> K-Vektorräume mit [mm]dim(V_1)[/mm] = [mm]dim(W_1)[/mm] und [mm]dim(V_2)[/mm] =
> [mm]dim(W_2).[/mm] Seien [mm]b_1[/mm] : [mm]V_1[/mm] x [mm]W_1 \to[/mm] K und [mm]b_2[/mm] : [mm]V_2[/mm] x [mm]W_2 \to[/mm]
> K zwei nicht ausgeartete Bilinearformen. Sei f : [mm]V_1 \to V_2[/mm]
> ein Homomorphismus. Es gibt eine eindeutig bestimmte
> Abbildung f{^} : [mm]W_2 \to W_1[/mm] so, dass
> [mm]b_2 (f(v_1), w_2)[/mm] = [mm]b_1 (v_1, f{^}(w_2))[/mm]
Da steht wohl [mm]b_2 (f(v_1), w_2)[/mm] = [mm]b_1 (v_1, \hat f (w_2))[/mm]
> für alle [mm]v_1 \in V_1[/mm]
> und [mm]w_2 \in W_2[/mm] gilt. Die Abbildung f{^} nennt man die zu f
> adjungierte Abbildung (bezüglich [mm]b_1[/mm] und [mm]b_2)."[/mm]
>
> Ich steige einfach nicht dahinter....
Zugegeben, das ist sehr abstrakt. Es ist aber eine Definition.
Anwendung findet das z.B., wenn [mm] W_1 [/mm] der Dualraum von [mm] V_1 [/mm] und [mm] W_2 [/mm] der Dualraum von [mm] V_2 [/mm] ist. Da hat man dann:
[mm] b_1(f(v_1), \phi):= \phi(f(v_1))
[/mm]
Ebenso für [mm] b_2
[/mm]
FRED
> Die adjungierte
> Abbildung taucht dann auch wieder bei den Spektralsätzen
> auf, aber ich kann mit der adjungierten Abbildung einfach
> nichts anfangen...
>
> Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 So 22.04.2012 | | Autor: | Pia90 |
Oh sorry, ich sehe gerade, ich hab mich bisher ja noch gar nicht bedankt... Drum nun noch ein ganz großes Danke!!! :)
|
|
|
|
