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Hallo! =)
Ich habe in einem Buch folgendes gefunden:
[mm] =(\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^{n}x^{2k}y^{2n-2k}\bruch{1}{(2k)!(2n-2k)!})+(\summe_{n=1}^{\infty}\summe_{k=0}^{n-1}(-1)^{n}\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\bruch{y^{2n-2k-1}}{(2n-2k-1)!})
[/mm]
[mm] =(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\summe_{k=0}^{2n}x^{k}y^{2n-k}\bruch{1}{(k)!(2n-k)!})
[/mm]
jedoch verstehe ich nicht genau wie sie auf den zweiten Teil kommen. Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand helfen könnte. =)
lieben Gruß!
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Hallo!
> Hallo! =)
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> Ich habe in einem Buch folgendes gefunden:
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> [mm]=(\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=0}^{n}(-1)^{n}x^{2k}y^{2n-2k}\bruch{1}{(2k)!(2n-2k)!})+(\summe_{n=1}^{\infty}\summe_{k=0}^{n-1}(-1)^{n}\bruch{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\bruch{y^{2n-2k-1}}{(2n-2k-1)!})[/mm]
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> [mm]=(\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\summe_{k=0}^{2n}x^{k}y^{2n-k}\bruch{1}{(k)!(2n-k)!})[/mm]
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> jedoch verstehe ich nicht genau wie sie auf den zweiten
> Teil kommen. Würde mich sehr freuen, wenn mir jemand
> helfen könnte. =)
Wenn du definierst:
[mm]f_{n}(k):=x^{k}*y^{2n-k}*\frac{1}{k!*(2n-k)!}[/mm]
steht da:
[mm]\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}*\sum_{k=0}^{n}f_{n}(2k)\right) + \left(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}*\sum_{k=0}^{n-1}f_{n}(2k+1)\right) = \left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}*\sum_{k=0}^{2n}f_{n}(k)\right)[/mm]
Links Seite der Gleichung: In der linken Summe stehen nur die Summanden mit geraden Argumenten k von 0,2,4,...,2n; in der rechten Summe stehen nur die Summanden mit ungeraden Argumenten k von 1,3,5...,2n-1. Insgesamt also alle Summanden von 0 bis 2n.
(Es ist egal, ob man bei der rechten Summe auf der linken Seite der Gleichung bei n = 1 oder n = 0 anfängt, weil für n = 0 eine leere Summe vorliegt)
Grüße,
Stefan
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