Additionstheorem m. Potentreih < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich soll das Additionstheorem sin(x+y) = sin(x)*cos(y) + cos(x) * sin(y) beweisen, indem ich sin(x+y) um x in eine Potenzreihe in y entwickle. Zunächst mal verstehe ich den hinteren Teil der Frage gar nicht mehr richtig. Ich hab dann das Problem auf zweierlei Arten versucht zu lösen, die beide nicht funktioniert haben. Einmal hab ich (x+y) in die Potenzreihe eingesetzt: [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!} (x+y)^{2n+1} [/mm] und dann das x+y vorgezogen, also [mm] (x+y)\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!} (x+y)^{2n}. [/mm] Und nun hab ich versucht mit sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) auf das gleiche zu kommen sin(x)*cos(y) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!} (x)^{2n+1} [/mm] * [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} (y)^{2n} [/mm] und hab dann [mm] x\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}*-1)^{n}}{(2n+1)!(2n)!} (xy)^{2n}. [/mm] cos(x)*sin(y) ist dann y [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}*-1)^{n}}{(2n+1)!(2n)!} (xy)^{2n}. [/mm] und das zusammenaddiert (x+y) * [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}*-1)^{n}}{(2n+1)!(2n)!} (xy)^{2n}, [/mm] was nicht sin(x+y) ist, also ist das wohl falsch. Mein zweiter Ansatz war die Potenzreihe auszuschreiben. Da bin ich aber gleich ganz am anfang steckengeblieben, da ich nur Potenzreihen die beide ein x bzw ein y enthalten addieren kann.
Gibts da nen heißen Tipp mit dem ich die Aufgaben lösen kann?
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Hallo Michael1982,
> Hallo,
> ich soll das Additionstheorem sin(x+y) = sin(x)*cos(y) +
> cos(x) * sin(y) beweisen, indem ich sin(x+y) um x in eine
> Potenzreihe in y entwickle. Zunächst mal verstehe ich den
> hinteren Teil der Frage gar nicht mehr richtig. Ich hab
> dann das Problem auf zweierlei Arten versucht zu lösen, die
> beide nicht funktioniert haben. Einmal hab ich (x+y) in die
> Potenzreihe eingesetzt: [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!} (x+y)^{2n+1}[/mm]
> und dann das x+y vorgezogen, also
> [mm](x+y)\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!} (x+y)^{2n}.[/mm]
> Und nun hab ich versucht mit sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
> auf das gleiche zu kommen sin(x)*cos(y) =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n+1)!} (x)^{2n+1}[/mm]
> * [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{(2n)!} (y)^{2n}[/mm]
> und hab dann [mm]x\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}*-1)^{n}}{(2n+1)!(2n)!} (xy)^{2n}.[/mm]
> cos(x)*sin(y) ist dann y [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}*-1)^{n}}{(2n+1)!(2n)!} (xy)^{2n}.[/mm]
> und das zusammenaddiert (x+y) * [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}*-1)^{n}}{(2n+1)!(2n)!} (xy)^{2n},[/mm]
> was nicht sin(x+y) ist, also ist das wohl falsch. Mein
> zweiter Ansatz war die Potenzreihe auszuschreiben. Da bin
> ich aber gleich ganz am anfang steckengeblieben, da ich nur
> Potenzreihen die beide ein x bzw ein y enthalten addieren
> kann.
> Gibts da nen heißen Tipp mit dem ich die Aufgaben lösen
> kann?
Der Tipp heisst ![[]](/images/popup.gif) Cauchyprodukt.
Gruß
MathePower
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