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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:33 Di 19.01.2010 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | | Zeige arctan(x)+arctan(y)= [mm] arctan(\bruch{x+y}{1-xy}) [/mm] |
Hallo,
die Aufgabe habe ich bisher folgendermaßen bearbeitet:
[mm] tan(x+y)=\bruch{sin(x+y)}{cos(x+y)}=\bruch{sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)}{cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)}*\bruch{cos(x)cos(y)}{cos(x)cos(y)}
[/mm]
setze x=arctan(u) und y=arctan(v)
[mm] \Rightarrow u+v=\bruch{u+v}{1-uv}
[/mm]
Das schaut ja schonmal gut aus, aber wenn man jetzt auf beiden Seiten den arctan anwendet, hat man doch
[mm] arctan(u+v)=arctan(\bruch{u+v}{1-uv})
[/mm]
Das ist aber links nicht, ganz was man zeigen soll. Wie geht man da richtig vor?
Ich bin für jede Hilfe dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Di 19.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipp: halte y fest und definiere
$f(x) = arctan(x)+arctan(y)$ und $g(x) = [mm] arctan(\bruch{x+y}{1-xy}) [/mm] $
zeige nun: $f'=g'$
Es folgt: es gibt eine Konstante c mit: $f(x)=g(x)+c$
Zeige dann: c=0.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Di 19.01.2010 | | Autor: | wee |
Danke für die rasche Antwort.
Allerdings haben wir Differenzieren und Integrieren noch nicht behandelt.
Die Aufgabe ist also rein mit der Theorie der Umkehrfunktionen zu lösen.
Vielleicht kann sich jemand die Aufgabe nochmal anschauen
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> Zeige arctan(x)+arctan(y)= [mm]arctan(\bruch{x+y}{1-xy})[/mm]
> Hallo,
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> die Aufgabe habe ich bisher folgendermaßen bearbeitet:
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> [mm]tan(x+y)=\bruch{sin(x+y)}{cos(x+y)}=\bruch{sin(x)cos(y)+cos(x)sin(y)}{cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)}*\bruch{cos(x)cos(y)}{cos(x)cos(y)}[/mm]
>
> setze x=arctan(u) und y=arctan(v)
>
> [mm]\Rightarrow u+v=\bruch{u+v}{1-uv}[/mm]
>
> Das schaut ja schonmal gut aus, aber wenn man jetzt auf
> beiden Seiten den arctan anwendet, hat man doch
>
> [mm]arctan(u+v)=arctan(\bruch{u+v}{1-uv})[/mm]
>
> Das ist aber links nicht, ganz was man zeigen soll. Wie
> geht man da richtig vor?
>
> Ich bin für jede Hilfe dankbar!
Hallo wee,
ich halte deine Bezeichnungsweise für unglücklich.
Ich würde dir vorschlagen, bei der ursprünglichen
Bedeutung von x und y in der vorgegebenen Glei-
chung zu bleiben und dann z.B. [mm] \alpha:=arctan(x) [/mm] und
[mm] \beta:=arctan(y) [/mm] zu setzen. Dann ist [mm] x=tan(\alpha) [/mm] und [mm] y=tan(\beta).
[/mm]
Von deiner Gleichung $\ [mm] tan(x+y)=\bruch{sin(x+y)}{cos(x+y)}=\,......$
[/mm]
ausgehend (ich würde sie mit [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] statt x und y
schreiben) kannst du durch geeignetes Kürzen zum
Additionstheorem der Tangensfunktion kommen.
Durch Anwendung der Substitutionsgleichungen
kommst du dann leicht zur gewünschten Gleichung.
LG Al-Chw.
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