Add. v. Äq.klassen; wohldef. < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Geg.
- (1): die Äquivalenzklassen "Restklasse Z/nZ" bzgl. der Äquivalenzrelation "modulo n"
- (2): die Äquivalenzklassen bzgl. der Äq.relation "a~b <=> a und b haben dieselbe Quersumme" |
Ich möchte nachvollziehen, wann ich entsprechende Klassen addieren kann und wann nicht.
Bzgl der Restklassen (1) kann ich ja Additonen vornehmen und dabei jeden beliebigen Repräsentanten der jeweilgen Klasse dafür hernehmen. Hier klappt die Addition also.
Bzgl. der Klassen mit den Quersummen (2) geht das ja nicht mehr, wie ich gerade festgestellt habe.
Nun lese ich, das geht nur dann, wenn die Addition "wohldefiniert" sei. Damit habe ich meine Probleme:
Die Addition klappt also nicht bzgl. jeder Äquivalenzklasse? (offensichtlich)
Liegt das jetzt an der Klasse oder an der Addition? (kann man sehen wie man will, wa?)
Also wie kann ich feststellen, welche Ä.klassen ich addieren kann und welche nicht?
Muss bzgl. jeder Ä.klasse erst festgestellt/bewiesen werden, ob/dass die Addition im ganz konkreten Fall der vorliegenden Ä.relation wohldefiniert ist, also für "jeden Repräsentanten" gilt? ->
Schema: Sei [mm] \overline{a} [/mm] = [mm] \overline{a'} [/mm] und [mm] \overline{b} [/mm] = [mm] \overline{b'} [/mm] zeige [mm] \overline{a+b} [/mm] = [mm] \overline{a'+b'}
[/mm]
Oder kann man sagen: Die Addition ist für alle Ä.klassen wohldefiniert, die auf bestimmte (konkret zu benennende) Art beschaffen sind?
Ich bringe da noch einiges durcheinander, glaube ich.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Mo 06.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Geg.
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> - (1): die Äquivalenzklassen "Restklasse Z/nZ" bzgl. der
> Äquivalenzrelation "modulo n"
> - (2): die Äquivalenzklassen bzgl. der Äq.relation "a~b
> <=> a und b haben dieselbe Quersumme"
> Ich möchte nachvollziehen, wann ich entsprechende Klassen
> addieren kann und wann nicht.
>
> Bzgl der Restklassen (1) kann ich ja Additonen vornehmen
> und dabei jeden beliebigen Repräsentanten der jeweilgen
> Klasse dafür hernehmen. Hier klappt die Addition also.
>
> Bzgl. der Klassen mit den Quersummen (2) geht das ja nicht
> mehr, wie ich gerade festgestellt habe.
>
> Nun lese ich, das geht nur dann, wenn die Addition
> "wohldefiniert" sei. Damit habe ich meine Probleme:
>
> Die Addition klappt also nicht bzgl. jeder
> Äquivalenzklasse? (offensichtlich)
>
> Liegt das jetzt an der Klasse oder an der Addition? (kann
> man sehen wie man will, wa?)
>
> Also wie kann ich feststellen, welche Ä.klassen ich
> addieren kann und welche nicht?
> Muss bzgl. jeder Ä.klasse erst festgestellt/bewiesen
> werden, ob/dass die Addition im ganz konkreten Fall der
> vorliegenden Ä.relation wohldefiniert ist, also für
> "jeden Repräsentanten" gilt? ->
>
> Schema: Sei [mm]\overline{a}[/mm] = [mm]\overline{a'}[/mm] und [mm]\overline{b}[/mm] =
> [mm]\overline{b'}[/mm] zeige [mm]\overline{a+b}[/mm] = [mm]\overline{a'+b'}[/mm]
>
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> Oder kann man sagen: Die Addition ist für alle Ä.klassen
> wohldefiniert, die auf bestimmte (konkret zu benennende)
> Art beschaffen sind?
>
> Ich bringe da noch einiges durcheinander, glaube ich.
kann sein. Generell ist doch folgendes:
Wir haben eine ÄR [mm] $R\,$ [/mm] auf einer Menge [mm] $M\,,$ [/mm] und man hat eine Operation
[mm] $\circ \colon [/mm] M [mm] \times [/mm] M [mm] \to M\,,$
[/mm]
und nun hat man die Menge der Äquivalenzklassen [mm] $[\,m\,]_{\sim}\,,$ [/mm] letztgenannte
schreibt man etwa als [mm] $M/\sim\,.$
[/mm]
Jetzt will man eine neue Verknüpfung, nennen wir sie mal [mm] $\odot,$ [/mm] der folgenden Art
[mm] $\odot\colon [/mm] (M [mm] /\sim)\;\; \times\;\; (M/\sim) \to M/\sim$
[/mm]
definieren.
Oft geschieht dass dann in der folgenden Art:
Für [mm] $\textbf{a},\textbf{b} \in M/\sim$ [/mm] existieren $a,b [mm] \in [/mm] M$ so, dass
[mm] $\textbf{a}=[a]_\sim$ [/mm] und [mm] $\textbf{b}=[b]_\sim\,,$
[/mm]
und dann setzen wir
[mm] $\textbf{a}\odot \textbf{b}:=[a \circ b]_\sim\,.$
[/mm]
Das "kann aber nur dann gutgehen", wenn die rechte Seite nicht von der
Wahl der Repräsentanten abhängt, d.h.:
Sind [mm] $a\,',b\,' \in [/mm] M$ auch mit [mm] $\textbf{a}=[a\,']_\sim$ [/mm] und [mm] $\textbf{b}=[b\,']_\sim,$
[/mm]
so muss
$[a [mm] \circ b]_\sim=[a\,' \circ b\,']_\sim$
[/mm]
gelten. (Hinreichend, aber i.a. nicht notwendig dafür wäre etwa die Gleichheit
$a [mm] \circ b=a\,' \circ b\,'\,.$)
[/mm]
Das ist die WOHLDEFINIERTHEIT.
Oben hast Du ein wunderschönes Beispiel aufgeführt, an welchem ich
demonstriere, dass die folgende Operation nicht wohldefiniert ist:
Sei also $R [mm] \subseteq \IN \times \IN$ [/mm] so, dass
$(a,b) [mm] \in [/mm] R$ [mm] $\iff$ $a\,$ [/mm] hat die selbe Quersumme wie [mm] $b\,.$
[/mm]
Wir schreiben [mm] $a\,R\,b$ [/mm] statt $(a,b) [mm] \in R\,.$
[/mm]
Dass für alle $a [mm] \in \IN$ [/mm] auch [mm] $a\,R\,a$ [/mm] gilt, ist klar, denn für jedes $a [mm] \in \IN$ [/mm] hat
[mm] $a\,$ [/mm] die gleiche Quersumme wie [mm] $a\,.$
[/mm]
Wenn [mm] $a\,R\,b$ [/mm] für $a,b [mm] \in \IN\,,$ [/mm] dann [mm] $b\,R\,a,$ [/mm] bedarf wohl auch keiner großen
weiteren Untersuchung.
Ebenso ist die Transitivität klar. (Man kann das durchaus formal schöner
ausführen, aber einfach mal "Beweis durch grob drübergucken.")
Und jetzt schauen wir uns mal die Addition [mm] $\oplus$ [/mm] auf
[mm] $\IN/R$
[/mm]
an, wobei [mm] $\oplus$ [/mm] wie folgt definiert sei:
[mm] $\oplus \colon \IN/R \times \IN/R \to \IN/R$
[/mm]
mit
[mm] $[a]_R\oplus [b]_R:=[\text{QS}(a' [/mm] + [mm] b')]_R$ [/mm] für [mm] $a\,' \in [a]_R$ [/mm] und [mm] $b\,' \in [b]_R\,.$
[/mm]
(Anders gesagt:
[mm] $[\text{QS}(a\,')]_R \oplus [\text{QS}(b\,')]:=[\text{QS}(a\,'+b\,')]_R.$)
[/mm]
Beachtenswert ist oben übrigens, dass i.a. keineswegs $a [mm] \in [a]_R\,,$ [/mm] sondern
"nur" stets $a [mm] \in [\text{QS}(a)]_R$ [/mm] gilt.
Und ich sehe da auch ein Problem: Bspw. gilt
[mm] $[13]_R \oplus [18]_R=[\text{QS}(76+99)]_R=[\text{QS}(175)]_R=[13]_R\,,$
[/mm]
aber auch
[mm] $[13]_R \oplus [18]_R=[\text{QS}(1345+4923)]=[\text{QS}(6268)]_R=[22]_R\,.$
[/mm]
(Und es ist $13 [mm] \notin [22]_R\,,$ [/mm] da [mm] $\text{QS}(13)=4 \not=22\,.$)
[/mm]
Und dieses gilt, obwohl
[mm] $76,\;1345 \in [13]_R$ [/mm] und [mm] $99,\;4923 \in [18]\,.$
[/mm]
(Gründe: [mm] $\text{QS}(76)=7+6=13=1+3+4+5=\text{QS}(1345),$ [/mm] sowie [mm] $\text{QS}(99)=9+9=18=4+9+2+3=\text{QS}(4923)\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Wie immer: Marcel antwortet und ich brauche - ob des umfangs der Antwort - erst mal nen Tag, um diese zu lesen!
(das heisst auf Deutsch: DAnke für die Antwort! :) )
Melde mich dann...
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Ich dachte, ich müsste etwas ergänzen, das war aber Quatsch. Die Frage kann als beantwortet markiert werden.
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