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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Mo 28.02.2005 | | Autor: | Eirene |
Hallo!!!
also ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:
E* gehe aus E durch Achsenspiegelung an g hervor. Gib eine Gleichung von E* in Normalenform an.
bestimme den Bildpunkt P1* von P1 bei der Spiegelung an g.
P1= (0/2/11)
g: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 2} [/mm] + t [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 2}
[/mm]
E: 2 [mm] x_{1} [/mm] +2 [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 15
Parameterform: g: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 11} [/mm] + t [mm] \vektor{-1 \\ 3 \\ -4} [/mm] + s [mm] \vektor{6 \\ -3 \\ -6}
[/mm]
????
Muss man die Stütztvektoren subtrachieren also :
2-0 = 2
3-2 = 1
2-11= -9 das ist dann der Richtungsvektor
also :g: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 2} [/mm] + k [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -9}
[/mm]
???
[mm] \overrightarrow{x} [/mm] ist = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 11} [/mm] man rechnet k aus und das ist dann k = -1 ??? und wenn man k einsetzt kriegt man den P*
???
kann mir das bitte jemand ausführlich erklären wie das mit der Spiegelung geht???
danke
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Hi, Eirene,
also: Bei einer Achsenspiegelung wird ein Punkt P an einer Geraden g so gespiegelt, dass man vom Punkt das Lot auf die Gerade fällt. Der Bildpunkt liegt dann in derselben Entfernung von g ebenfalls auf der Lotgeraden, aber sozusagen "auf der anderen Seite" von g.
Nun zu Deinem Beispiel: Zunächst müssen wir uns ansehen, wie Ebene und Gerade zueinander liegen. Setzt Du g in E ein, erhältst Du: 12=15. Dies ist ein Widerspruch und bedeutet: g liegt echt parallel zu E.
Das vereinfacht die Sache, weil dann auch E und E* parallel sind!
Drum sollst Du ja auch speziell P* berechnen, was dann wiederum der Aufpunkt von E* ist und "der Rest bleibt gleich".
Nun zu der von Dir vorgeschlagenen Vorgehensweise:
(Wo hast Du die übrigens her?)
> Muss man die Stütztvektoren subtrachieren also :
> 2-0 = 2
> 3-2 = 1
> 2-11= -9 das ist dann der Richtungsvektor
>
> also :g: [mm]\overrightarrow{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 2}[/mm] + k
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -9}
[/mm]
>
> ???
> [mm]\overrightarrow{x}[/mm] ist = [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 11}[/mm] man
> rechnet k aus und das ist dann k = -1 ??? und wenn man k
> einsetzt kriegt man den P*
>
Ich erklär' mal, was Du gemacht hast: Du verbindest den Punkt P mit dem Aufpunkt A der Geraden g. Diese Verbindung erweiterst Du zu einer neuen Geraden, auf der A und P liegen. Da Du A als Aufpunkt dieser Geraden gewählt hast, würdest Du P mit k=1 erhalten und daher einen Punkt in der gespiegelten Ebene E* für k=-1. Dies ist aber eigentlich nicht der gesuchte Punkt P*, sondern derjenige, der sich durch Spiegelung am Punkt A ergibt (Punktspiegelung!). Für das Ergebnis (Ebene E*) macht das jedoch nichts:
Aufpunkt P*, gleiche Richtungsvektoren (und natürlich auch gleicher Normalenvektor) wie E.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mi 02.03.2005 | | Autor: | Eirene |
Hm...
heißt das das mein Ansatz richtig oder falsch war???
ich verstehe irgendwie immer noch nicht wie ich das machen soll....
also ich weiß dass der Abstand zwischen Ebene und Gerade = 1 ist d.h dass der Abstand zwischen E* und g auch 1 ist und dann...?
danke
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Hi, Eirene,
den Abstand brauchst Du dazu gar nicht! Die Ebene E* lautet in Parameterform:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{4\\4\\-7}+t*\vektor{-1\\3\\-4}+s*\vektor{6\\-3\\6}.
[/mm]
Noch was: Ich hab' nicht aufgepasst: Da Du bei der Bestimmung des Richtungsvektors der Hilfsgeraden
[mm] \overrightarrow{AP} [/mm] = [mm] \vektor{2\\-1\\9} [/mm] gerechnet hast, kriegst Du mit k=-1 den Punkt P zurück! Du musst natürlich k=+1 setzen, und bekommst P*(4; 4; -7).
Aber nochmal: Unser hier berechneter Punkt P* entsteht durch Punktspiegelung des Punkts P am Punkt A. Wenn P* wirklich durch Achselspiegelung an der Geraden berechnet werden soll, müsstest Du anders vorgehen!
DIE EBENE IST ABER NATÜRLICH RICHTIG!!
Das hat mit P* nichts zu tun!
mfG!
Zwerglein
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