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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 Di 18.11.2008 | | Autor: | Shelli |
| Aufgabe | a) Man zeige, dass die Menge aller endlichen Teilmengen von [mm] \IN [/mm] abzählbar ist.
b) Man zeige, dass die Menge aller Teilmengen [mm] \mathcal{P}(\IN) [/mm] von [mm] \IN [/mm] nicht abzählbar ist. |
Hallo!
Über Abzählbarkeit weiß ich, dass alle Teilmengen von [mm] \IN [/mm] gleichmächtig sein müssen mit [mm] \IN. [/mm] Das heißt, es gibt dann eine bijektive Abbildung a: [mm] \IN \to [/mm] X
X ist eine Teilmenge von [mm] \IN
[/mm]
aber wie zeige ich das?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:23 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> a) Man zeige, dass die Menge aller endlichen Teilmengen von
> [mm]\IN[/mm] abzählbar ist.
>
> b) Man zeige, dass die Menge aller Teilmengen
> [mm]\mathcal{P}(\IN)[/mm] von [mm]\IN[/mm] nicht abzählbar ist.
> Hallo!
>
> Über Abzählbarkeit weiß ich, dass alle Teilmengen von [mm]\IN[/mm]
> gleichmächtig sein müssen mit [mm]\IN.[/mm] Das heißt, es gibt dann
> eine bijektive Abbildung a: [mm]\IN \to[/mm] X
> X ist eine Teilmenge von [mm]\IN[/mm]
>
> aber wie zeige ich das?
Der Beweis von b) ist schon ein Klassiker.
Annahme: $ [mm] \mathcal{P}(\IN) [/mm] $ ist abzählbar. Dann gibt es eine Bijektion
f: [mm] \IN [/mm] --> $ [mm] \mathcal{P}(\IN) [/mm] $
Sei A:= {n [mm] \in \IN: [/mm] n [mm] \not\in [/mm] f(n)}. Da f bijektiv ist, existiert ein m [mm] \in \IN [/mm] mit A = f(m).
Fall 1: m [mm] \in [/mm] A. Dann ist m [mm] \in [/mm] f(m) und (wg. der Def. von A) m [mm] \not\in [/mm] f(m), Widerspruch.
Fall 2: m [mm] \not\in [/mm] A. Dann ist m [mm] \not\in [/mm] f(m) und (wg. der Def. von A) m [mm] \in [/mm] f(m), Widerspruch.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:31 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu a) eine Lösungsidee:
Sei X = {A [mm] \subseteq \IN: [/mm] A ist endlich}
Setze [mm] X_n [/mm] = {A [mm] \subseteq \IN: [/mm] A ist beschränkt und supA [mm] \le [/mm] n}
Dann ist X = [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty}X_n
[/mm]
Zeige nun induktiv: [mm] X_n [/mm] ist abzählbar für jedes n [mm] \in \IN
[/mm]
Dann ist X abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen, also abzählbar.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Di 18.11.2008 | | Autor: | Shelli |
In meinem Skript steht, dass jede Teilmenge einer höchstens abzählbaren Menge [mm] (\IN [/mm] ist ja höchstens abzählbar) auch höchstens abzählbar ist.
Reicht es dann nicht, zu schreiben, dass dann die Vereinigung aller Teilmengen von [mm] \IN [/mm] auch abzählbar ist.
Das Skript beantwortet doch schon die Aufgabe.
Ich hab nämlich keine Ahnung wie ich beweisen soll, dass die Vereinigung abzählbar ist. Wenn ich mal irgendwo ein Beispiel für einen solchen Beweis hätte... Ich komm einfach nicht klar damit. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> In meinem Skript steht, dass jede Teilmenge einer höchstens
> abzählbaren Menge [mm](\IN[/mm] ist ja höchstens abzählbar) auch
> höchstens abzählbar ist.
>
> Reicht es dann nicht, zu schreiben, dass dann die
> Vereinigung aller Teilmengen von [mm]\IN[/mm] auch abzählbar ist.
Du sollst nicht zeigen, dass eine Teilmenge einer abzählbaren Menge wieder abzählbar ist (das steht in Eurem Skript), sondern , dass die Menge aller endlichen Teilmengen von [mm] \IN [/mm] abzählbar ist.
FRED
>
> Das Skript beantwortet doch schon die Aufgabe.
>
> Ich hab nämlich keine Ahnung wie ich beweisen soll, dass
> die Vereinigung abzählbar ist. Wenn ich mal irgendwo ein
> Beispiel für einen solchen Beweis hätte... Ich komm einfach
> nicht klar damit. :(
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:05 Di 18.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Ja dann hilf mir doch mal.
Ich steh völlig auf dem Schlauch. Bin dir auch nicht böse, wenn du einen Teil der Lösung verrätst. 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Das habe ich doch oben getan !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
FRED
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> Ja dann hilf mir doch mal.
Hallo !?!???
Fred hilft Dir bereits:
Er hat Dir hier eine Idee für a) geliefert, dort eine Idee für b), und in diesem Post hat Dir die Aufgabenstellung, die Dir offensichtlich nicht klar war, erklärt.
> Ich steh völlig auf dem Schlauch. Bin dir auch nicht böse,
> wenn du einen Teil der Lösung verrätst.
Der Ball ist jetzt an Dir.
Bisher ist mit keinem Deut zu erkennen, daß Du irgendwelche Aktivtäten entfaltet hast.
Die Information "steh auf dem Schlauch" bietet keinerlei Hinweis darauf, an welcher Stelle nun weitere Hilfe nötig ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Di 18.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Hey hey das war doch echt nicht böse gemeint. Bin sehr dankbar für eure Hilfe!!
Komme mir nur so blöd vor, weil ich teilweise eure Tipps nicht verstehe und versuche dann verzweifelt, hier ein bisschen mehr rauszukriegen! Sorry!
Ich fang nochmal an:
zu a) [mm] \IN [/mm] ist eine abzählbare Menge. Dann ist auch jede Teilmenge von [mm] \IN [/mm] abzählbar.
Wenn M die Menge aller abzählbaren Teilmengen ist, dann muss diese Menge ja auch abzählbar sein.
Die Frage ist nur, wie beweise ich das?
Es existiert also eine bijektive Abbildung von [mm] \IN [/mm] nach M: [mm] b:\IN \to [/mm] M
D.h. [mm] x,x'\in\IN, x\not=x' \Rightarrow f(x)\not=f(x')
[/mm]
und [mm] y\inM \Rightarrow [/mm] es gibt (mindestens) ein [mm] x\in\IN [/mm] mit y=f(x)
Mein Problem ist, dass ich nie weiß wann es für einen Beweis reicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hey hey das war doch echt nicht böse gemeint. Bin sehr
> dankbar für eure Hilfe!!
> Komme mir nur so blöd vor, weil ich teilweise eure Tipps
> nicht verstehe und versuche dann verzweifelt, hier ein
> bisschen mehr rauszukriegen! Sorry!
>
> Ich fang nochmal an:
>
> zu a) [mm]\IN[/mm] ist eine abzählbare Menge. Dann ist auch jede
> Teilmenge von [mm]\IN[/mm] abzählbar.
>
> Wenn M die Menge aller abzählbaren Teilmengen ist, dann
> muss diese Menge ja auch abzählbar sein.
Ich glaube Du hörst nicht zu.
Das sollst Du zeigen:
Man zeige, dass die Menge aller endlichen Teilmengen von $ [mm] \IN [/mm] $ abzählbar ist.
>
> Die Frage ist nur, wie beweise ich das?
Das habe ich Dir doch oben vorgemacht !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
>
> Es existiert also eine bijektive Abbildung von [mm]\IN[/mm] nach M:
> [mm]b:\IN \to[/mm] M
> D.h. [mm]x,x'\in\IN, x\not=x' \Rightarrow f(x)\not=f(x')[/mm]
>
> und [mm]y\inM \Rightarrow[/mm] es gibt (mindestens) ein [mm]x\in\IN[/mm] mit
> y=f(x)
>
> Mein Problem ist, dass ich nie weiß wann es für einen
> Beweis reicht.
Dein Problem ist eher, dass Du nicht weißt, was Du zeigen sollst
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Di 18.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Ich glaub ich gebs auf. Ihr scheint ja auch langsam an mir zu verzweifeln. Trotzdem danke für die versuchte Hilfe. Bin wohl ein hoffnungsloser Fall.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:41 Di 18.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich habe Dir die Beweise für a) und b) vorgemacht.
Wenn Du uns nicht mitteilst, was Du daran nicht verstehst, können wir Dir nicht helfen.
Also, versuchs noch mal.
FRED
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