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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Die Menge aller Intervalle mit rationalen Endpunkten ist abzählbar unendlich. |
Hi zusammen!
Komm leider bei der Aufgabe nicht wirklich weiter.
Also wir hatten in der Vorlesung erklärt dass die rationalen Zahl abzählbar unendlich sind, also müssen ja auch die Intervalle mit rationalen Endpunkten abzählbar unendlich sein, das ist ja eigentlich logisch. Nur hab ich jetzt keinen Ansatz wie ich das denn beweisen könnte....
Bin echt dankbar für Hilfe
Liebe Grüße
Nadja
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Hallo Nadja,
> Zeigen Sie: Die Menge aller Intervalle mit rationalen
> Endpunkten ist abzählbar unendlich.
> Also wir hatten in der Vorlesung erklärt dass die
> rationalen Zahl abzählbar unendlich sind, also müssen ja
> auch die Intervalle mit rationalen Endpunkten abzählbar
> unendlich sein, das ist ja eigentlich logisch.
Naja Nadja, vielleicht ist das doch ein bisschen zu kurz
gesprungen... Immerhin hat ja jedes Intervall zwei
Endpunkte, d.h. man kann ein solches Intervall durch
die Angabe eines Paares [mm] (a,b)\in \IQ\times{\IQ} [/mm] mit
[mm] a\le [/mm] b charakterisieren, ergänzt durch die zusätzliche
Angabe, ob das Intervall offen, abgeschlossen oder
halboffen (2 Varianten) ist.
Vielleicht habt ihr aber auch schon den wichtigen Satz
bewiesen: Sind A und B abzählbar unendlich, so ist
auch [mm] A\times{B} [/mm] abzählbar unendlich. Damit lässt sich der
Beweis führen.
LG
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Al-Chwarizmi aufgreifend und mal ganz platt:
Wenn Du eine beliebige rationale Zahl nimmst und mal schaust, welche Intervalle sie begrenzt, dann brauchst Du eine weitere beliebige rationale Zahl als andere Grenze.
Zwischenergebnis: [mm] \infty*\infty [/mm] Möglichkeiten.
Nehmen wir aber an, die Intervalle seien alle in gleicher Richtung gegeben, dann taucht jedes Intervall [a,b] zweimal auf, je nachdem, ob Du mit a oder mit b angefangen hast.
Also Korrektur: [mm] \bruch{\infty*\infty}{2} [/mm] Möglichkeiten.
Außerdem können wir vielleicht noch die uneigentlichen Intervalle vom Typ [a,a] ausschließen:
[mm] \bruch{\infty*(\infty-1)}{2} [/mm] Möglichkeiten
Und schließlich ist noch einzuflechten, dass jedes dieser Intervalle in den von Al-Chwarizmi beschriebenen vier Varianten vorkommt:
Ergebnis: [mm] 4*\bruch{\infty*(\infty-1)}{2} [/mm] Möglichkeiten
Soweit die populär"wissenschaftliche" Darstellung. Jetzt musst Du nur noch mathematisch sauber darstellen, warum der angegebene Term wieder [mm] =\infty [/mm] ist.
Kannst Du z.B. eine Zuordnung der ganzen Intervalle zu den natürlichen Zahlen finden, sie also sozusagen "durchnummerieren"? Es ist nicht tragisch, wenn ein Intervall dabei mehrere Ordinalzahlen bekommt, also in der Liste mehrmals auftaucht, weil man ohne Mühe zeigen kann, dass es sicher nicht weniger solche Intervalle als natürliche Zahlen gibt.
Viel Erfolg!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Di 04.11.2008 | | Autor: | Nadja1989 |
Danke euch zwei. Ich hoff ich krieg das jetzt hin...
Lg
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