Abstandsproblem < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Do 09.06.2011 | | Autor: | f00lish |
| Aufgabe | Gegeben ist die Ebene E. Bestimme Gleichungen aller Ebenen, die von der Ebene E den Abstand 2 haben.
6x1-3x2+2x3=7 |
Guten Abend,
ich habe gerade ein bisschen Probleme mit der oben genannten Aufgabe.
Als erstes hab ich die Ebene von der Koordinatengleichung in die Normalenform überführt:
(6/-3/2)*x-7=0
und danach in die Hessische Normalenform:
1/7*(6/-3/2)*x-1=0
daraus folgt, dass die gegebene Ebene 1 LE vom Ursprung entfernt ist; die parallelen Ebenen müssen also -1 LE bzw. 3 LE entfernt sein.
Also setzt man einen der Werte ein:
1/7*(6/-3/2)*x-1=3
woraus folgt:
28=(6/-3/2)*x
Und an dieser Stelle steh ich gerade irgendwie auf dem Schlauch, was insofern peinlich ist, als dass ich das Gefühl habe, ich müsste nur ganz elementares Grundwissen anwenden, wozu ich jedoch irgendwie nicht in der Lage bin. Eine andere Möglichkeit wäre natürlich auch, dass ich bereits vorher einen Fehler gemacht habe - ich wäre dankbar, wenn mir jemand helfen könnte. :)
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Vielen Dank schon mal,
f00lish
|
|
| |
|
Hallo f00lish,
das ist doch schon fast ok.
> Gegeben ist die Ebene E. Bestimme Gleichungen aller Ebenen,
> die von der Ebene E den Abstand 2 haben.
>
> 6x1-3x2+2x3=7
> Guten Abend,
>
> ich habe gerade ein bisschen Probleme mit der oben
> genannten Aufgabe.
>
> Als erstes hab ich die Ebene von der Koordinatengleichung
> in die Normalenform überführt:
>
> (6/-3/2)*x-7=0
>
> und danach in die Hessische Normalenform:
Na, man gut, dass Du nicht die friesische, badische oder steirische Form gewählt hast. ![[]](/images/popup.gif) Otto Hesse, nach dem sie benannt ist, kam immerhin aus Königsberg. Also: Hessesche Normal(en)form.
> 1/7*(6/-3/2)*x-1=0
>
>
> daraus folgt, dass die gegebene Ebene 1 LE vom Ursprung
> entfernt ist; die parallelen Ebenen müssen also -1 LE bzw.
> 3 LE entfernt sein.
> Also setzt man einen der Werte ein:
>
> 1/7*(6/-3/2)*x-1=3
Ah, da ist der Fehler.
Die beiden gesuchten Ebenen findest Du so nicht. Der Ansatz für die eine ist:
[mm] \bruch{1}{7}\vektor{6\\-3\\2}*\vec{x}-1=2\quad [/mm] bzw. [mm] \quad\bruch{1}{7}\vektor{6\\-3\\2}*\vec{x}-3=0
[/mm]
und für die andere natürlich:
[mm] \bruch{1}{7}\vektor{6\\-3\\2}*\vec{x}-1=-2\quad [/mm] bzw. [mm] \quad\bruch{1}{7}\vektor{6\\-3\\2}*\vec{x}+1=0
[/mm]
Nebenbei: ist doch viel besser lesbar mit dem Formeleditor, oder? Probiers mal selbst...
> woraus folgt:
>
> 28=(6/-3/2)*x
>
>
> Und an dieser Stelle steh ich gerade irgendwie auf dem
> Schlauch, was insofern peinlich ist, als dass ich das
> Gefühl habe, ich müsste nur ganz elementares Grundwissen
> anwenden, wozu ich jedoch irgendwie nicht in der Lage bin.
> Eine andere Möglichkeit wäre natürlich auch, dass ich
> bereits vorher einen Fehler gemacht habe - ich wäre
> dankbar, wenn mir jemand helfen könnte. :)
Ich hoffe, so kommst Du weiter.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Do 09.06.2011 | | Autor: | f00lish |
Vielen Dank :)
das Problem ist aber, dass ich dann trotzdem noch in der gleichen - vermutlich ziemlich simplen - Sackgasse wie vorher lande. Löse ich z.B. die Gleichung, welche die erste Ebene betrifft, weiter auf, lande ich bei:
[mm] \vektor{6\\-3\\2}\cdot{}\vec{x}=21
[/mm]
Und weiß an dieser Stelle leider abermals nicht weiter. Nur mein Gefühl sagt mir, dass es geradezu peinlich ist, so eine Frage zu stellen, weil es mir selbst so simpel erscheint.
Viele Grüße,
f00lish
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> das Problem ist aber, dass ich dann trotzdem noch in der
> gleichen - vermutlich ziemlich simplen - Sackgasse wie
> vorher lande. Löse ich z.B. die Gleichung, welche die
> erste Ebene betrifft, weiter auf, lande ich bei:
>
> [mm]\vektor{6\\
-3\\
2}\cdot{}\vec{x}=21[/mm]
>
> Und weiß an dieser Stelle leider abermals nicht weiter.
> Nur mein Gefühl sagt mir, dass es geradezu peinlich ist,
> so eine Frage zu stellen, weil es mir selbst so simpel
> erscheint.
Du brauchst doch auch gar nicht mehr weiter. Das ist eine der beiden Lösungen. Sie ist übrigens durch das Multiplizieren mit 7 nicht besser geworden, bleibt aber vollkommen richtig.
Der Ansatz, den ich vorhin geschrieben habe, ist zugleich auch die Lösung. Beides sind ja Ebenengleichungen. Natürlich ist es nicht praktisch, in so einer Ebenengleichung auf beiden Seiten ein von Null verschiedenes absolutes Glied zu haben, aber alle weiteren Umformungen ab hier sind schlichte Kosmetik und ändern nichts an den durch die Gleichungen beschriebenen Ebenen.
Mir scheint also, Du hast nur das Problem, dass Du hier gerade nicht weißt, wann Du fertig bist. Kann das sein?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:56 Do 09.06.2011 | | Autor: | f00lish |
Wie gesagt, ich wusste, dass die Frage wirklich etwas peinlich war - jetzt seh ich es auch. Irgendwie war ich zu sehr darauf fixiert, noch weitere Rechenschritte durchzuführen, so dass ich nicht bemerkt habe, dass die Aufgabe schon gelöst war. In diesem Sinne hast Du mein Problem genau richtig erkannt - vielen Dank für Deine schnelle Hilfe!
Grüße,
f00lish
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Fr 10.06.2011 | | Autor: | f00lish |
Und das hab ich jetzt leider als "Frage" gestellt, sollte eigentlich nur eine "Mitteilung" sein, tut mir leid.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Fr 10.06.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> Und das hab ich jetzt leider als "Frage" gestellt, sollte
> eigentlich nur eine "Mitteilung" sein, tut mir leid.
Kein Problem, das ließ sich noch ändern. 
Ich glaube, innerhalb der ersten 30 Minuten kannst Du das sogar selbst als Urheber der Frage, aber sicher bin ich da nicht.
Im übrigen wären die meisten Nutzer dieses Forums wohl froh, wenn sie ihren Stoff so gut könnten wie Du und nur nicht merkten, dass sie schon alles erledigt haben. Man muss ja erstmal dahin kommen, sich so einen Luxusfehler leisten zu können. Und der passiert dann wirklich jedem mal.
Also alles gut, mach so weiter!
Grüße
reverend
|
|
|
|
