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Hallo Zusammen ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]") ,
Gleiches Problem, allerdings habe ich jetzt eine andere Lösungsstrategie:
Die Aufgabe:
Berechnen Sie den Abstand des Punktes Q von der Geraden h.
Q(6/7/-3) [mm] g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 4}+\lambda\vektor{3 \\ 0 \\ -2}
[/mm]
[mm] \vec{u}=\vec{n}, [/mm] damit ich die Normalenform aufstellen kann:
[mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -2}*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}-\vektor{3 \\ 0 \\\green{-} 2}*\vektor{6 \\ 7 \\ -3}
[/mm]
[mm] 3x_{1}-18=0
[/mm]
[mm] 0x_{2}=0
[/mm]
[mm] -2x_{3}-6=0
[/mm]
Daraus habe ich eine KNF erstellt
[mm] 3x_{1}-18=-2x_{3}-6=0
[/mm]
=> [mm] 3x_{1}+2x_{3}=12
[/mm]
Dann habe ich [mm] \vec{x} [/mm] abgelesen:
[mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 2}
[/mm]
Das habe ich dann in meine Gerade h eingesetzt:
[mm] h:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 4}+\lambda\vektor{3 \\ 0 \\ -2}
[/mm]
[mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 2}=\vektor{2 \\ 1 \\ 4}+\lambda\vektor{3 \\ 0 \\ -2}
[/mm]
Dann habe ich diese Gleichung in 3 Gleichungen aufgesplittet:
[mm] 3=2+3\lambda [/mm] => [mm] \lambda=\bruch{1}{3}
[/mm]
0=1 => [mm] \lambda= [/mm] /
[mm] 2=4-2\lambda [/mm] => [mm] \lambda=1
[/mm]
Was mache ich denn jetzt?
Ich muss immer noch den Schnittpunkt raus bekommen, um nachher den Abstand berechnen zu können...
Liebe Grüße,
Sarah 
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Hallo,
könntest Du vielleicht doch mal die genaue Aufgabenstellung angeben?
Um welchen Punkt geht es, und der Abstand zu welcher Geraden soll berechnet werden?
Es ist sonst sehr anstrengend zu verfolgen, wenn man nicht genau weiß, was das Ziel ist.
Gruß v. Angela
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> Hallo Zusammen ,
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> Gleiches Problem, allerdings habe ich jetzt eine andere
> Lösungsstrategie:
>
> Die Aufgabe:
>
> Berechnen Sie den Abstand des Punktes Q von der Geraden h.
> Q(6/7/-3) [mm]g:\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 4}+\lambda\vektor{3 \\ 0 \\ -2}[/mm]
>
> [mm]\vec{u}=\vec{n},[/mm] damit ich die Normalenform aufstellen
> kann:
Hallo,
ja, Du stellst jetzt die Gleichung der Ebene auf, welche durch Q geht und von der Geraden h senkrecht durchbohrt wird.
> [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -2}*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}-\vektor{3 \\ 0 \\ \green{-}2}*\vektor{6 \\ 7 \\ -3}[/mm]
Die Normalenform hat ein Gleichheitszeichen mit einer Null dahinter:
[mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -2}*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}-\vektor{3 \\ 0 \\ \green{-}2}*\vektor{6 \\ 7 \\ -3}=0.
[/mm]
Achtung, Achtung: das ist eine Null, kein Nullvektor!
Was auch kein Wunder ist, denn Du hast links vom Gleichheitszeichen zwei Skalarprodukte, und das Ergebnis eines Skalarproduktes ist ???
Wenn Du jetzt die Skalarprodukte korrekt ausrechnest, hast Du fast die Koordinatengleichung der Ebene dastehen.
Mach' das ruhig mal, es ist sicher bildend.
Um den Schnittpunkt zu berechnen, setze in die Normalenform [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -2}*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}-\green{24}=0 [/mm] für [mm] \vec{x} [/mm] die Gleichung der Geraden h ein.
(Die [mm] \green{24} [/mm] ist das ausgeführte Skalarprodukt [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ \green{-}2}*\vektor{6 \\ 7 \\ -3}.)
[/mm]
Du bekommst
[mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -2}*[\vektor{2 \\ 1 \\ 4}+\lambda\vektor{3 \\ 0 \\ -2}]-\green{24}=0
[/mm]
Löse hier jetzt die eckige Klammer auf und berechne die Skalarprodukte.
Du erhältst eine (!) Gleichung mit der Variablen [mm] \lambda, [/mm] welche Du danch ausrechnen kannst.
Mit diesem [mm] \lambda [/mm] gehe wieder in die Gleichung von h. Du bekommst den Schnittpunkt.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela ,
Ich habe eine Frage:
> Um den Schnittpunkt zu berechnen, setze in die Normalenform
> [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -2}*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}-\green{24}=0[/mm]
> für [mm]\vec{x}[/mm] die Gleichung der Geraden h ein.
Warum muss ich hier nicht nach
[mm] x_{1}=...
[/mm]
[mm] x_{2}=...
[/mm]
...
auflösen?
Liebe Grüße,
Sarah
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> > Um den Schnittpunkt zu berechnen, setze in die Normalenform
> > [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -2}*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}-\green{24}=0[/mm]
> > für [mm]\vec{x}[/mm] die Gleichung der Geraden h ein.
>
> Warum muss ich hier nicht nach
>
> [mm]x_{1}=...[/mm]
> [mm]x_{2}=...[/mm]
> ...
>
> auflösen?
Hallo,
ist Dir klar, was die Ebnengleichung Dir lliefert?
Alle Vektoren [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}, [/mm] die die Gleichung [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -2}*\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}-\green{24}=0 [/mm] lösen, liegen in der besagten Ebene.
Du suchst nun einen Punkt, welcher einerseits auf h liegt, und gleichzeitiig in der Ebene. Deshalb setzt man hier die Geradengleichung ein.
Ach, vielleicht verstehe ich jetzt, was Du meinst:
Du kannst natürlich auch das Skalarprodukt in der Ebenengleichung ausführen, erhältst [mm] 3x_1-2x_3-\green{24}=0,
[/mm]
kannst Dir die Gleichung v. h als drei Gleichungen schreiben und in [mm] 3x_1-2x_3-\green{24}=0 [/mm] einsetzen.
Das ist im Prinzip dasselbe, tu das, wovor Du Dich weniger fürchtest.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela ,
> Ach, vielleicht verstehe ich jetzt, was Du meinst:
Ich hoffe, wir sprechen jetzt vom gleichen (bin mir da selber nicht sicher).
> Du kannst natürlich auch das Skalarprodukt in der
> Ebenengleichung ausführen, erhältst [mm]3x_1-2x_3-\green{24}=0,[/mm]
>
> kannst Dir die Gleichung v. h als drei Gleichungen
> schreiben und in [mm]3x_1-2x_3-\green{24}=0[/mm] einsetzen.
Also:
[mm] x_{1}=2+3\lambda
[/mm]
[mm] x_{2}=1
[/mm]
[mm] x_{3}=4-2\lambda
[/mm]
Dann setze ich das ja in [mm] 3x_{1}-2x_{3}-\green{24}=0 [/mm] ein
[mm] 3*(2+3\lambda)-2*(4-2\lambda)-\green{24}=0
[/mm]
[mm] =6+9\lambda-8+4\lambda=0
[/mm]
[mm] =-2+13\lambda
[/mm]
=> aber das ist ja auch nicht das Ziel...
Liebe Grüße,
Sarah
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> Hallo Angela ,
>
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> > Ach, vielleicht verstehe ich jetzt, was Du meinst:
>
> Ich hoffe, wir sprechen jetzt vom gleichen (bin mir da
> selber nicht sicher).
>
> > Du kannst natürlich auch das Skalarprodukt in der
> > Ebenengleichung ausführen, erhältst [mm]3x_1-2x_3-\green{24}=0,[/mm]
> >
> > kannst Dir die Gleichung v. h als drei Gleichungen
> > schreiben und in [mm]3x_1-2x_3-\green{24}=0[/mm] einsetzen.
>
> Also:
>
> [mm]x_{1}=2+3\lambda[/mm]
> [mm]x_{2}=1[/mm]
> [mm]x_{3}=4-2\lambda[/mm]
>
> Dann setze ich das ja in [mm]3x_{1}-2x_{3}-\green{24}=0[/mm] ein
>
> [mm]3*(2+3\lambda)-2*(4-2\lambda)-\green{24}=0[/mm]
> [mm]=6+9\lambda-8+4\lambda=0[/mm]
> [mm]=-2+13\lambda[/mm]
>
> => aber das ist ja auch nicht das Ziel...
Ich weiß ja nicht, was Du so für Ziele hast...
Aber aus [mm] 0=-2+13\lambda [/mm] kannst Du doch ganz wundervoll das [mm] \lambda [/mm] berechnen.
Allerdings solltest Du die [mm] \green{24} [/mm] in der Koordinatengleichung der Ebene nicht unterschlagen!
Also jetzt richtig:
[mm] 0=3*(2+3\lambda)-2*(4-2\lambda)-12=-2+13\lambda -\green{24}=13\lambda [/mm] - [mm] \green{26}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] ausrechnen, in h einsetzen ==> Du hast den Schnittpunkt.
Dann Differenzvektor Schnittpunkt-Q ausrechen, seine Länge bestimmen ==> Abstand des Punktes zur Geraden ist gefunden.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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Hallo Angela ,
Hast du für [mm] \lambda [/mm] auch [mm] \bruch{14}{13} [/mm] erhalten?
Liebe Grüße,
Sarah
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Do 21.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
unter der Annahme, dass Angelas Rechnung korrekt ist, kommt da dein Ergebnis raus. Sie hatte dort ja mal stehen [mm] $0=13\lambda-14$ [/mm] und das ist äquivalent zu [mm] $\lambda=\frac{14}{13}$.
[/mm]
LG
Kroni
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> Hast du für [mm]\lambda[/mm] auch [mm]\bruch{14}{13}[/mm] erhalten?
Hallo,
das war die richtige Lösung der Gleichung.
Ich habe aber eben - angeregt durch Kronis Skepsis und die Dreizehntel - nochmal durchgeschaut und dabei entdeckt, daß ganz am Anfang ein Vorzeichenfehler war. Ich habe das durchgehend grün korrigiert, die richtie Lösung ist nun [mm] \lambda=2. [/mm] Das ist ja auch viel bequemer!
Gruß v. Angela
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