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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Do 21.04.2005 | | Autor: | ImSKAred |
So. Ich bin leider recht trottelig gewesen und finde irgendwie keine vernünftige Erklärung mehr wie ich Abstände von Ebene- Ebene/ Gerade- Ebene und Punkt- Ebene bestimme.
Mir schwimmt da zwar etwas vage im Kopf rum, aber der Nebel will nicht verschwinden...vielleicht kann mir diese Frage bitte jemand beantworten, am besten mit einer Beispielaufgabe. Dann erst versteh ich das meist...und was ganz wichtig ist ohne Hessesche Normalenform. Die dürfen wir nämlich nicht benutzen- und egal wo ich gucke: Ich finde diese Berechnung nur mit der HNF.
Vielen Dank schon einmal im Vorraus.
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo ImSKAred!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> So. Ich bin leider recht trottelig gewesen und finde
> irgendwie keine vernünftige Erklärung mehr wie ich Abstände
> von Ebene- Ebene/ Gerade- Ebene und Punkt- Ebene bestimme.
>
> Mir schwimmt da zwar etwas vage im Kopf rum, aber der Nebel
> will nicht verschwinden...vielleicht kann mir diese Frage
> bitte jemand beantworten, am besten mit einer
> Beispielaufgabe. Dann erst versteh ich das meist...und was
> ganz wichtig ist ohne Hessesche Normalenform. Die dürfen
> wir nämlich nicht benutzen- und egal wo ich gucke: Ich
> finde diese Berechnung nur mit der HNF.
Okay, ich versuche das mal mit Worten so zu erklären, wie man sich das denken sollte - also eher weit weg von jeglichen Formeln, sondern so, dass du das Prinzip verstehst und dir dann die Formeln quasi immer selber herleiten kannst.
Im Prinzip laufen alle deine drei Fragen auf die letzte hinaus, nämlich den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu bestimmen. Suche dir also beim Abstand von Ebene-Ebene einen beliebigen Punkt einer der beiden Ebenen, und beim Abstand Gerade-Ebene einen beliebigen Punkt auf deiner Geraden aus (denn jeder Punkt in der Ebene bzw. auf der Geraden hat ja den gleichen Abstand zu der anderen Ebene, das ist ja Sinn des Abstandes  ).
So, und nun müssen wir also nur noch den Abstand zwischen Punkt und Ebene bestimmen. (Ich weiß nicht, ob es vielleicht noch etwas kürzer geht, aber das hier fällt mir jetzt spontan mal ein...) Abstand bedeutet ja quasi der kürzeste Abstand, und das ist immer senkrecht. Also brauchen wir eine Senkrechte zur Ebene, die durch den Punkt geht. Dafür stellen wir die Gleichung einer "Lotgeraden" auf, berechnen den Lotfußpunkt und dann daraus den Abstand.
Und ich habe hier zufällig auch gerade ein Beispiel gefunden:
P(2|0|1); [mm] E:x_1+8x_2-4x_3=25
[/mm]
Da der Normalenvektor der Ebene senkrecht auf die Ebene steht, können wir ihn für unsere Lotgerade als Richtungsvektor nehmen, also:
[mm] \vec{n}=\vektor{1\\8\\-4}
[/mm]
Da die Gerade ja genau durch unseren Punkt gehen soll, nehmen wir diesen als Stützvektor, also:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{2\\0\\1}+t*\vektor{1\\8\\-4}
[/mm]
Nun suchen wir den Lotfußpunkt, das ist der Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene. Aus der Geradengleichung entnehmen wir:
[mm] x_1=2+t; x_2=8t; x_3=1-4t
[/mm]
Setzen wir dies nun in die Ebenengleichung ein:
2+t+8*8t-4*(1-4t)=25
[mm] \gdw [/mm] 81t-2=25
[mm] \gdw t=\bruch{1}{3}
[/mm]
diesen Wert setzen wir nun in die Geradengleichung ein und erhalten als Lotfußpunkt: [mm] F(\bruch{7}{3}|\bruch{8}{3}|-\bruch{1}{3})
[/mm]
Nun ist der Abstand des Punktes P von der Ebene gleich dem Betrag des Vektors [mm] \overrightarrow{PF}:
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{PF}|=\wurzel{(\bruch{7}{3}-2)^2+(\bruch{8}{3})^2+(-\bruch{1}{3}-1)^2}=...=3.
[/mm]
Alles klar jetzt? Ansonsten frag nochmal nach. 
Viele Grüße
Bastiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:52 Do 21.04.2005 | | Autor: | ImSKAred |
ja vielen dank. hat mir geholfen. so hab ich das auch probiert zu rechnen...was ist denn, wenn ich den beliebigen punkt aus der geradengleichung in die Ebenengleichung einsetze um den Durchstoßpunkt zu errechnen und es fallen die Variabeln r & s weg? D.h. ich habe da nur noch z.B. 4= 20,5 stehen?
>> also was kann ich daraus schlussfolgern?
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Hallo nochmal!
> ja vielen dank. hat mir geholfen. so hab ich das auch
> probiert zu rechnen...was ist denn, wenn ich den beliebigen
> punkt aus der geradengleichung in die Ebenengleichung
> einsetze um den Durchstoßpunkt zu errechnen und es fallen
> die Variabeln r & s weg? D.h. ich habe da nur noch z.B. 4=
> 20,5 stehen?
> >> also was kann ich daraus schlussfolgern?
Hab ich das so geschrieben? Also so, wie du das formulierst, ist das nahezu Blösdinn. Denn ein beliebiger Punkt, der auf der Geraden liegt, muss ja längst nicht auch in der Ebene liegen. Wenn du also so einen Widerspruch wie 4=20,5 da stehen hast, dann heißt das ganz einfach, dass dein gewählter Punkt nicht in der Ebene liegt.
Ich bin mir aber nicht sicher, ob du das meinst, was sind denn r und s genau?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 Do 21.04.2005 | | Autor: | ImSKAred |
r und s sind die parameter. aber na gut, veilleicht hab ich mich da beim wählen des punktes vertan...(aber es geht nicht um deine aufgabe sondern eine andere. Bin nur zu blöd, das hier einzutippen...(:
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Do 21.04.2005 | | Autor: | mela |
hallo!
sind die parameter aus der parametergleichung deiner ebene? also hast du einen punkt von g in die parametergleichung von E eingesetzt? weil das kannst du eigentlich gar nicht....es sei denn du hast ihn als vektor davor geschrieben. also anstelle vom [mm] \vec{x} [/mm] der immer vorm gleichzeichen steht.
so würdest du eigentlich nur prüfen ob der gewählte punkt P in der ebene liegt. und da du ein ungleiches ergebnis erhalten hast, kannst du sicher sein, dass er es nicht tut...
wenn ich mich jetzt nicht irre...
aber was meinst du mit "durschstoßpunkt" aus einer frage weiter oben? einen schnittpunkt von einer gerade und einer ebene?
gruß mela.
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