Abstandsberechnung Geraden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Abstand der parallelen Geraden g und h.
g: x= [mm] \vektor{-1 \\ 8 \\ 9} [/mm] + r [mm] \vektor{-4 \\ 5 \\ 2}
[/mm]
h: x= [mm] \vektor{-6 \\ 11 \\ 14} [/mm] + s [mm] \vektor{4 \\ -5 \\ -2}
[/mm]
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich erhalte, wenn ich die Formle aus der Formelsammlung erhalte 3. Die Formel lautet d=(vr-vo)*no, wobei vr der Ortsvektor eines festen Punktes auf der einen Gerade ist, vo der Ortsvektor eines festen Punktes auf der anderen Gerade und no der Normaleneinheitsvektor der Geraden ist.
Andere Leute aus meinem Kurs haben aber [mm] \wurzel{14} [/mm] als Lösung. Dieses Ergebnis habe ich mit Hilfe des Lotfußpunktverfahrens nachvollzogen.
Warum erhalte ich verschiedene Ergebnisse? Verwende ich die Formel aus der Formelsammlung falsch (meine Vermutung)?
Vielen Dank
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie den Abstand der parallelen Geraden g und h.
>
> g: x= [mm]\vektor{-1 \\ 8 \\ 9}[/mm] + r [mm]\vektor{-4 \\ 5 \\ 2}[/mm]
>
> h: x= [mm]\vektor{-6 \\ 11 \\ 14}[/mm] + s [mm]\vektor{4 \\ -5 \\ -2}[/mm]
>
> Ich erhalte, wenn ich die Formel aus der Formelsammlung
> erhalte 3. Die Formel lautet d=(vr-vo)*no, wobei vr der
> Ortsvektor eines festen Punktes auf der einen Gerade ist,
> vo der Ortsvektor eines festen Punktes auf der anderen
> Gerade und no der Normaleneinheitsvektor der Geraden ist.
>
> Andere Leute aus meinem Kurs haben aber [mm]\wurzel{14}[/mm] als
> Lösung. Dieses Ergebnis habe ich mit Hilfe des
> Lotfußpunktverfahrens nachvollzogen.
>
> Warum erhalte ich verschiedene Ergebnisse? Verwende ich die
> Formel aus der Formelsammlung falsch (meine Vermutung)?
Hallo schnurstrax welch hübscher Name ! 
Für Geraden im Raum gibt es gar keinen "Normaleneinheitsvektor" !
Deine Formel funktioniert in der x-y-Ebene, aber nicht im x-y-z-Raum.
Ohne den Lotfusspunkt wirklich zu berechnen, könntest du so vorgehen:
1.) Sei a ein Richtungsvektor der parallelen Geraden und e=vr-vo
2.) Berechne den Winkel [mm] \varphi [/mm] = [mm] \angle [/mm] (a,e)
3.) Dann ist [mm] d=|e|*|sin(\varphi)|
[/mm]
Falls du das Kreuzprodukt kennst, gibt es auch eine geschlossene
Formel:
[mm] d=\bruch{|a\times{e}|}{|a|}
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort.
Nun ist es so, dass in meiner Formelsammlung steht, dass die Formel für windschiefe Geraden gilt. Geraden können aber im R2 nur parallel, identisch oder im Schnitt vorkommen. Also muss sich die Formel doch auf den R3 beziehen --> folglich muss ein Normaleneinheitsvektor der beiden Geraden existieren.
???
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort.
>
> Nun ist es so, dass in meiner Formelsammlung steht, dass
> die Formel für windschiefe Geraden gilt. Geraden können
> aber im R2 nur parallel, identisch oder im Schnitt
> vorkommen. Also muss sich die Formel doch auf den R3
> beziehen --> folglich muss ein Normaleneinheitsvektor der
> beiden Geraden existieren.
>
> ???
Aha. So betrachtet geht es natürlich. Du solltest
dann aber nicht vom Normaleneinheitsvektor der
Geraden sprechen, sondern vom Normaleneinheitsvektor
der von ihnen zusammen aufgespannten Ebene !
Einen Normalenvektor n (noch nicht normiert) dieser
Ebene kannst du mit dem Vektorprodukt berechnen:
[mm] n=a\times{e}
[/mm]
(mit den vorher eingeführten Bezeichnungen)
Nur fürchte ich, dass dies doch nicht das ist, was du
willst ... Deine Formel liefert dann den Abstand der
einen Geraden von der Ebene, welche die beiden
Geraden gemeinsam aufspannen.
Mach dir das mal geometrisch klar !
Gruß
|
|
|
| |
|
Hängt es damit zusammen, dass die Geraden parallel sind? Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch. Peinlich, peinlich... Ich sehe die parallelen Geraden nur als spezielle windschiefe. Ist das nicht möglich, liegt da das Problem?
|
|
|
| |
|
> Hängt es damit zusammen, dass die Geraden parallel sind?
> Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch. Peinlich, peinlich...
> Ich sehe die parallelen Geraden nur als spezielle
> windschiefe. Ist das nicht möglich, liegt da das Problem?
Ja.
Der Abstand zweier windschiefer Geraden a und b ist deren
kürzestmöglicher Abstand und entspricht dem Abstand
von zwei zueinander parallelen Ebenen A und B, wobei
a in A und b in B liegt.
Zur Berechnung des Abstands zwischen parallelen
Geraden a und b mittels einer Hilfsebene würde man
am besten eine Ebene N benützen, die zu den beiden
Geraden normal steht. Der Abstand der Geraden a und
b entspricht dann dem Abstand der beiden Schnittpunkte
[mm] S_a=a\cap{N} [/mm] und [mm] S_b=b\cap{N}. [/mm] Das ist dann eigentlich wieder
die Lotfusspunkt-Methode.
LG
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für die Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Berechnen Sie den Abstand der Geraden g und h.
g: [mm] x=\vektor{6 \\ -2 \\ 0}+\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
h: [mm] x=\vektor{4 \\ 6 \\ 8}+\vektor{3 \\ 3 \\ -1} [/mm] |
Funktioniert die Formel denn für windschiefe Geraden?
Mein Ergebnis für diese Aufgabe lautet: [mm] 86/\wurzel{86}.
[/mm]
Ist das richtig?
|
|
|
| |
|
> Berechnen Sie den Abstand der Geraden g und h.
>
> g: [mm]x=\vektor{6 \\ -2 \\ 0}+\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> h: [mm]x=\vektor{4 \\ 6 \\ 8}+\vektor{3 \\ 3 \\ -1}[/mm]
>
> Funktioniert die Formel denn für windschiefe Geraden?
>
> Mein Ergebnis für diese Aufgabe lautet: [mm]86/\wurzel{86}.[/mm]
>
> Ist das richtig?
Ja. Aber man sollte unbedingt noch kürzen !
|
|
|
| |
|
Die Gleichungen müssen natürlich anders heißen:
g: [mm] x=\vektor{6 \\ -1 \\ 0}+r\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
h: [mm] x=\vektor{4 \\ 6 \\ 8}+s\vektor{3 \\ 3 \\ -1}
[/mm]
|
|
|
| |
|
> Die Gleichungen müssen natürlich anders heißen:
>
> g: [mm]x=\vektor{6 \\ -1 \\ 0}+r\vektor{-2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> h: [mm]x=\vektor{4 \\ 6 \\ 8}+s\vektor{3 \\ 3 \\ -1}[/mm]
In diesem Fall gibt es aber auch ein anderes Ergebnis.
Dein erstes Ergebnis war für die ursprünglichen
Geraden korrekt.
good night !
|
|
|
|
