Abstand zwischen zwei Geraden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Ruunay |
| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte Q(4;2;4), R(-1;7;-1) und [mm] P_{k}(k;1-k;2-2k) [/mm] mit k [mm] \in \IR [/mm] gegeben
1) Die Punkte Q und R bestimmen die Gerade g, die Punkte [mm] P_{k} [/mm] mit k [mm] \in \IR [/mm] liegen auf der Geraden h.
1.1) Zeigen Sie, dass die Gerade g nicht parallel zur Geraden h verläuft, und berechnen Sie den Abstand der Geraden g und h |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Schönen guten Tag!
Die Berechnung dieser Aufgabe bereitet mir Probleme. Da ich morgen eine Fachabiturprüfung in Mathematik habe, versuchte ich heute möglichst viele Übungsaufgaben mitzunehmen. Jedoch scheiterte ich bereits bei dieser hier.
Folgendes habe ich bereits getan:
[mm] \overline{QR} [/mm] = [mm] \vektor{-5\\5\\-5}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] g : [mm] \overline{x} [/mm] = [mm] \vektor{4\\2\\4} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-5\\5\\-5}
[/mm]
[mm] P_{k} [/mm] = [mm] \vektor{k\\1-k\\2-2k} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] h : [mm] \overline{x} [/mm] = [mm] \vektor{0\\1\\2} [/mm] + k [mm] \vektor{1\\-1\\-2}
[/mm]
Beweis g nicht parallel zu h:
[mm] \rightarrow \vektor{-5\\5\\-5} [/mm] = k [mm] \vektor{1\\-1\\-2}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = -5 für k = -5
[mm] x_{2} [/mm] = 5 für k = -5
[mm] x_{3} \not= [/mm] -5 für k = -5
[mm] \rightarrow [/mm] Nicht parallel
Nun zu meinem Problem. Um den Abstand beider Geraden voneinander zu bestimmen habe ich den Richtungsvektor von g zum Normalenvektor der Ebene E gemacht.
[mm] \Rightarrow n_{E} [/mm] = [mm] \vektor{-5\\5\\-5} [/mm] = 5 * [mm] \vektor{-1\\1\\-1}
[/mm]
Als Aufpunkt der Ebene habe ich Q gewählt:
E: - [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] +6 = 0
Nun überprüfe ich für welchen Wert von k die Ebene die Gerade h schneidet:
- ( 0 + k ) + ( 1 - k ) - ( 2 - 2k ) + 6 = 0
Das Ausrechnen jedoch zeigt eine unwahre Aussage:
5 [mm] \not= [/mm] 0
Jetzt meine Frage(n): Was habe ich falsch gemacht? Darf ich diesen Ansatz nicht wählen, weil sie nicht parallel sind?
Bitte bei Antworten von der Hesse-Form absehen, da diese nicht im Lehrplan enthalten war.
Vielen Dank schon mal im Voraus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Ruunay |
Danke das bringt mich schonmal weiter! Der kürzeste Abstand zwischen diesen Geraden dürfte das Lot von der Einen auf die Andere sein.
Da beide senkrecht und windschief zueinander sind, muss ich also zuerst die Senkrechte ausrechnen und mit dieser eine Hilfsebene bilden.
[mm] n_{E} [/mm] = [mm] \vektor{1\\-1\\-2} \times \vektor{-5\\5\\-5}
[/mm]
= [mm] \vektor{15\\15\\0} [/mm] = [mm] 15*\vektor{1\\1\\0}
[/mm]
Nun habe ich die Normalenform aufgestellt mit P als Ausgangspunkt:
E : [mm] x_{1} [/mm] - [mm] x_{2} [/mm] + 1 = 0
Füge ich nun die Gerade g ein erhalte ich einen Schnittpunkt für [mm] \lambda [/mm] = [mm] \bruch{3}{10}
[/mm]
Eingefügt ergibt das den Punkt [mm] S(\bruch{5}{2};\bruch{7}{2};\bruch{5}{2})
[/mm]
Also brauche ich nur noch den Betrag des Vektors [mm] \overline{SP} [/mm] zu bestimmen und erhalte den Abstand?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Mi 11.06.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Danke das bringt mich schonmal weiter! Der kürzeste Abstand
> zwischen diesen Geraden dürfte das Lot von der Einen auf
> die Andere sein.
>
> Da beide senkrecht und windschief zueinander sind, muss ich
> also zuerst die Senkrechte ausrechnen und mit dieser eine
> Hilfsebene bilden.
Das mit der Senkrechten verstehe ich, das mit der Hilfsebene nicht. Mein Ansatz wäre: Ich nehme einen allgemeinen Punkt auf der einen Geraden, addiere ein Vielfaches des gefundenen Richtungsvektors [mm] \vektor{1\\1\\0} [/mm] und muß dann einen Punkt auf der anderen Geraden erhalten. Das gibt ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten, wichtig ist für mich der Koeffizient des Verbindungsvektors. Der gibt mir in Verbindung mit der Länge dieses Richtungsvektors [mm] (\wurzel{2}) [/mm] den Abstand. Ich erhalte (ohne jede Gewähr) [mm] \bruch{5}{2}*\wurzel{2}.
[/mm]
Mit Hilfe der anderen Parameter kann ich Anfangs- und Endpunkt der Verbindungsstrecke berechnen.
> [mm]n_{E}[/mm] = [mm]\vektor{1\\-1\\-2} \times \vektor{-5\\5\\-5}[/mm]
>
> = [mm]\vektor{15\\15\\0}[/mm] = [mm]15*\vektor{1\\1\\0}[/mm]
>
> Nun habe ich die Normalenform aufgestellt mit P als
> Ausgangspunkt:
>
> E : [mm]x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}[/mm] + 1 = 0
>
> Füge ich nun die Gerade g ein erhalte ich einen
> Schnittpunkt für [mm]\lambda[/mm] = [mm]\bruch{3}{10}[/mm]
>
> Eingefügt ergibt das den Punkt
> [mm]S(\bruch{5}{2};\bruch{7}{2};\bruch{5}{2})[/mm]
>
> Also brauche ich nur noch den Betrag des Vektors
> [mm]\overline{SP}[/mm] zu bestimmen und erhalte den Abstand?
s. o.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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