Abstand zweier Geraden > Punkt < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Fr 08.04.2005 | | Autor: | tciny |
Hi,
ich weiß zwar wie ich den Abstand zweier Geraden berechne, allerdings ist mir gerade Schleierhaft wie ich den Punkt des geringsten Abstandes herausfinde bzw. wo die Punkte des geringsten Abstandes auf den Geraden liegen.
Wäre für jede Hilfe dankbar,
Jan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Fr 08.04.2005 | | Autor: | Fugre |
Hallo Jan,
vielleicht hilft dir dieser ![[]](/images/popup.gif) Link weiter.
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Sa 09.04.2005 | | Autor: | tciny |
Danke,
die Seite hatte ich auch schon gefunden. Allerdings ist meine Frage: Wie finde ich X und Y? also nicht |XY|.
Konkret also: Nicht wie groß ist die Distanz, sondern wo tritt sie auf?
Jemand eine Idee?
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Hi, tciny,
wenn Du Dir den Link angeschaut hast, dann kann ich mich bei meiner Antwort ja auf die dortige Zeichnung beziehen. Zusätzlich nenne ich die von Dir gesuchten Punkte X (auf der Geraden g mit Aufpunkt P und Richtungsvektor [mm] \vec{u}) [/mm] und Y (auf der Geraden h mit Aufpunkt Q und Richtungsvektor [mm] \vec{v}). [/mm]
Schreiben wir erst mal die Koordinaten von X und Y in Abhängigkeit von jeweils einem Parameter auf.
Da X auf g liegt, muss sein Ortsvektor [mm] \vec{x} [/mm] sich mit Hilfe der Geradengleichung darstellen lassen: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{p}+a*\vec{u}.
[/mm]
Analog gilt dann für den Ortsvektor von Y:
[mm] \vec{y} [/mm] = [mm] \vec{q}+b*\vec{v}
[/mm]
Als nächstes bilden wir die geschlossene Vektorkette OPXYQO
(Bemerkung: O ist der Ursprung!):
[mm] \vec{p}+ a*\vec{u} [/mm] + [mm] \overrightarrow{XY} [/mm] - [mm] b*\vec{v} [/mm] - [mm] \vec{q} [/mm] = [mm] \vec{o} [/mm] (***)
(Woher die Minuszeichen kommen, machst Du Dir am besten anhand der Skizze aus dem Link klar.
Wenn man daraus a und b berechnen kann, kann man wiederum X und Y angeben. Klar?
Nun: a und b sind 2 Unbekannte; daher brauch ich auch ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen, um a und b zu berechnen!
Und hier verwenden wir nun die Tatsache, dass der Vektor [mm] \overrightarrow{XY} [/mm] auf den Geraden g und auch h senkrecht steht, was wiederum bedeutet: Er steht auf den Richtungsvektoren [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] senkrecht.
Wenn aber Vektoren aufeinander senkrecht stehen, so ist ihr SKALARPRODUKT = 0.
Hier: [mm] \overrightarrow{XY}\circ\vec{u} [/mm] = 0
und auch: [mm] \overrightarrow{XY}\circ\vec{u} [/mm] = 0
Was tun wir also?
Wir multiplizieren die Gleichung (***) skalar einmal mit [mm] \vec{u}, [/mm] das zweite Mal mit [mm] \vec{v}. [/mm] Beide Male fällt dabei [mm] \overrightarrow{XY} [/mm] raus und übrig bleiben - wie gewünscht - zwei lineare Gleichungen mit den Unbekannten a und b, die Du nun leicht ausrechnen kannst.
Anschließend berechnest Du mit deren Hilfe die Koordinaten der Punkte X und Y.
Am besten, Du probierst es gleich mal an einem Beispiel aus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Sa 09.04.2005 | | Autor: | tciny |
Wow, erst mal allerherlichsten Dank.
Werd mich gleich mal dran setzen :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Sa 09.04.2005 | | Autor: | tciny |
Sorry, jetzt muss ich doch noch mal kurz um etwas bitten:
Da ich (Grafikstudent :) länger keinen engeren Kontakt mit Mathmatik hatte fällt es mir gerade echt schwer die Formel nach [mm] \vec{u} [/mm] und [mm] \vec{v} [/mm] zu lösen... könntest du mir da eben noch mal unter die Arme greifen? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo tciny,
du sollst ja garnicht nach [mm] $\vec{u}$ [/mm] oder [mm] $\vec{v}$ [/mm] auflösen, sondern aus der Gleichung (***) durch Skalarmultiplikation mit [mm] $\vec{u}$ [/mm] bzw. [mm] $\vec{v}$ [/mm] zwei Gleichung für die gesuchten Variablen $a$ und $b$ bestimmen.
Hier eine kleine Wiederholung zum Skalarprodukt. Man kann zeigen das für das Skalarprodukt gilt:
[mm] $\vec{a} \circ \vec{b} [/mm] = [mm] |\vec{a}| \dot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$,
[/mm]
wobei [mm] $\alpha$ [/mm] der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist, daraus ergeben sich einige besonders leichte Fälle:
1. Fall [mm] $\vec{a} \perp \vec{b} \gdw \alpha=90° \gdw \vec{a}\circ\vec{b}=0$
[/mm]
2. Fall [mm] $\vec{a} \parallel \vec{b} \gdw \alpha=0° \gdw \vec{a}\circ\vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$
[/mm]
3. Fall [mm] $\vec{a} \text{ antiparallel }\vec{b} \gdw \alpha=180° \gdw \vec{a}\circ\vec{b}=-|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$
[/mm]
Fall 2 bedeutet insbesondere, dass [mm] $\vec{x}^2=\vec{x}\circ\vec{x}=|\vec{x}|^2$. [/mm] Wenn du diese Beziehung nutzt erhälst du zwei Gleichungen für die Variablen $a$ und $b$.
Sonst kann ich dir noch unseren Artikel zur  Vektorrechnung aus der Mathebank zum wiederholen empfehlen.
Gruß Brackhaus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, tciny,
gib' uns doch mal die Aufgabe, an der Du gerade rechnest, samt Deinen bisherigen Lösungsversuchen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Sa 09.04.2005 | | Autor: | tciny |
Ok, das ist jetzt etwas kompilzierter:
Ich scripte gerade an einem Tool das folgendes macht: Man bestimmt einen Punkt auf zwei Fotografien (In diesem Fall HDRi falls das jemandem was sagt); durch den Unterschied der Perspektive ergeben sich zwei Strahlen deren Schnittpunkt dann die räumliche Position des Punktes darstellt.
Die Strahlen schneiden sich aber natürlich in der Realität dann nicht weil immer geringe Messfehler auftreten.
Damit ich jetzt eben die räumliche Position des Punktes bekomme muss ich wissen wo der Abstand der zwei Geraden am geringsten ist.
Meine bisherigen Versuche wären glaube ich hier deswegen nicht sehr aufschlussreich, da sie in Form von MEL Scripts sind :)
Aber falls es jemanden Interessiert:
Das Resultat, also das was das Script erstellt, sind 3D Rekonstruktionen realer Szenen. Dank der Vorlagen fotorealistisch und mit dem Helligkeitsspektrum der Realität. (Normale Fotografien bilden immer nur einen Bruchteil ab da ein Fotoausdruck oder Bildschirm natürlich nie so hell wie die Sonne und so dunkel wie schwärzeste Nacht sein kann)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, tciny,
aber die Geradengleichungen kannst Du doch irgendwie angeben?!
Wenn die Zahlenwerte dann zu ungünstig sind, um die Aufgabe "per Hand" zu lösen, kann man ja immer noch ein CAS zu Hilfe nehmen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Sa 09.04.2005 | | Autor: | tciny |
Ja, die Geradengleichungen aufzustellen ist kein Problem.
Mein Problem ist gerade nur den Teil den du mir schon gegeben hast so umzuformulieren, dass ich am Ende eine allgemeingültige Formel hab, mit der ich eben die Position der Punkte berechnen kann bzw. a und b.
Vielleicht bin auch gerade nur etwas schwer von Begriff, aber mir ist noch nicht so recht klar wie ich auf die zwei Werte komme :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:32 So 10.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich rechne mal mit Zwergleins Ansatz weiter.
Hierbei gehe ich oBdA davon aus, dass [mm] $\vec{u} \* \vec{u} [/mm] = [mm] \vec{v} \* \vec{v}=1$ [/mm] gilt (das kann man durch Normierung des Richtungsvektoren immer erreichen!).
Dann ergeben sich (nach der Zwergleinschen Regel) die beiden folgenden Gleichungen:
[mm] $\vec{p} \* \vec{u} [/mm] + a - b [mm] \cdot \vec{v} \* \vec{u} [/mm] - [mm] \vec{q} \* \vec{u} [/mm] = 0$
und
[mm] $\vec{p} \* \vec{v} [/mm] + a [mm] \cdot \vec{u} \* \vec{v} [/mm] - b - [mm] \vec{q} \* \vec{v}=0$.
[/mm]
Daraus erhält man zunächst:
(1) $a = b [mm] \cdot \vec{u} \* \vec{v} [/mm] + [mm] (\vec{q} [/mm] - [mm] \vec{p}) \* \vec{u}$
[/mm]
und
(2) $b = [mm] (\vec{p} [/mm] - [mm] \vec{q}) \* \vec{v} [/mm] + a [mm] \cdot \vec{u} \* \vec{v}$.
[/mm]
Setzt man nun (2) in (1) ein, so erhält man:
$a = [mm] [(\vec{p} [/mm] - [mm] \vec{q}) \* \vec{v}] \cdot [\vec{u} \* \vec{v}] [/mm] + a [mm] \cdot (\vec{u} \* \vec{v})^2 [/mm] + [mm] (\vec{q} [/mm] - [mm] \vec{p}) \* \vec{u}$,
[/mm]
also:
$a = [mm] \frac{(\vec{p} - \vec{q}) \* [( \vec{u} \* \vec{v} )\cdot \vec{v} - \vec{u}]}{1 - (\vec{u} \* \vec{v})^2}$
[/mm]
und dann schließlich dieses errechnete $a$ wieder in (2) einsetzen...
Liebe Grüße
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 So 10.04.2005 | | Autor: | tciny |
Wohoo :)
Danke für die Mühe!
Funktioniert jetzt einwandfrei.
Ich würd mich jetzt ja gern hier im Forum revanchieren, allerdings ist das mit meinen Mathefähigkeiten wohl eher nicht so der Brenner.
Dafür werd ich auf jeden Fall Screenshots posten wenn das gesamte Programm funktioniert :)
Danke nochmal!
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