Abstand zw. zwei Geraden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie den Abstand zwischen den Geraden mit den Gleichungen
[mm] \overrightarrow{x}= \vektor{2 \\ 5 \\ 5}+ t*\vektor{1 \\ 1 \\ 3}, \overrightarrow{x}= t*\vektor{-1 \\ -1 \\ -3}
[/mm]
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Hallo MatheForum!
Komme beim Rechnen dieser Aufgabe gerade nicht weiter.
Normalerweise sucht man ja bei diesem Aufgaben-Typ einen Normalenvektor, der sowohl zum Richtungsvektor der einen Geraden, als auch zum Richtungsvektor der anderen orthogonal ist. Dieser Normalenvektor wird dann normiert. Schließlich gilt dann für den Abstand:
d= [mm] |(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p})* \overrightarrow{n_{0}}|
[/mm]
(Dabei ist [mm] \overrightarrow{q} [/mm] der Stützvektor der zweiten, [mm] \overrightarrow{p} [/mm] der Stützvektor der ersten Gerade).
Soweit so gut.
Der gesuchte Normalenvektor ist hier in diesem Fall ja [mm] \overrightarrow{n}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, [/mm] oder?
Auch der Stützvektor der zweiten Geraden beträgt [mm] \overrightarrow{q}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Damit wäre dann
d= [mm] |[\vektor{0 \\ 0 \\ 0}-\vektor{2 \\ 5 \\ 5}]* \vektor{0 \\ 0 \\ 0}|
[/mm]
Aber das wäre ja dann Abstand d=0.
Diese Lösung kommt mir komisch vor.
Stimmt das?
Wenn nicht, was mache ich falsch?
Würde mich sehr über Hilfe freuen!
LG Eli
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> Berechnen Sie den Abstand zwischen den Geraden mit den
> Gleichungen
> [mm]\overrightarrow{x}= \vektor{2 \\ 5 \\ 5}+ t*\vektor{1 \\ 1 \\ 3}, \overrightarrow{x}= t*\vektor{-1 \\ -1 \\ -3}[/mm]
>
> Hallo MatheForum!
> Komme beim Rechnen dieser Aufgabe gerade nicht weiter.
>
> Normalerweise sucht man ja bei diesem Aufgaben-Typ einen
> Normalenvektor, der sowohl zum Richtungsvektor der einen
> Geraden, als auch zum Richtungsvektor der anderen
> orthogonal ist. Dieser Normalenvektor wird dann normiert.
> Schließlich gilt dann für den Abstand:
> d= [mm]|(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p})* \overrightarrow{n_{0}}|[/mm]
>
> (Dabei ist [mm]\overrightarrow{q}[/mm] der Stützvektor der zweiten,
> [mm]\overrightarrow{p}[/mm] der Stützvektor der ersten Gerade).
>
> Soweit so gut.
> Der gesuchte Normalenvektor ist hier in diesem Fall ja
> [mm]\overrightarrow{n}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0},[/mm] oder?
Hallo,
nein. Der ist ja ein bißchen zu kurz, als daß er in irgendeine Richtung zeigen könnte, und das mit dem Normieren klappt auch gar nicht gut...
Da mußt Du schon einen gescheiten suchen.
Das Finden eines passenden Normalenvektors ist ja auch gar nicht so leicht: der muß nicht nur senkrecht zu den Geraden sein, sondern auch in derselben Ebene liegen, das ist schwieriger als im [mm] \IR^2.
[/mm]
Normalerweise geht man hier so vor, wie wenn man den Abstand eines Punktes von einer Geraden bere chnet:
Lege durch [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 5} [/mm] eine Ebene, die senkrecht zu den Geraden ist und berechne dann die Stelle, an der die Gerade [mm] \overrightarrow{x}= t*\vektor{-1 \\ -1 \\ -3}[/mm] [/mm] die Ebene durchstößt.
Der Abstand zwischen dem Durchstoßpunkt und [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 5} [/mm] ist der gesuchte Abstand.
Gruß v. Angela
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Bisher hat die Abstandberechnung mit dem beschriebenen Vorgehen und der Formel funktioniert, daher dachte ich, dass es auch hier klappen müsste.
Ich werd's jetzt aber so rechnen, wie du gesagt hast. 
Danke für die Hilfe!
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> Bisher hat die Abstandberechnung mit dem beschriebenen
> Vorgehen und der Formel funktioniert, daher dachte ich,
> dass es auch hier klappen müsste.
Hallo,
das funktioniert auch, wenn Du einen Normalenvektor zu den Geraden suchst, der in der richtigen Ebene liegt.
Die Ebene, in der die Geraden liegen, wird aufgespannt von [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3} [/mm] und [mm] \vektor{2 \\ 5 \\ 5}-\vektor{0\\0\\0}=\vektor{2 \\ 5 \\ 5}.
[/mm]
Nun müßtest Du einen Vektor [mm] \vec{v} [/mm] suchen mit [mm] \vec{v}=r\vektor{1 \\ 1 \\ 3}+s\vektor{2 \\ 5 \\ 5}, [/mm] mit [mm] \vec{v}*\vektor{1 \\ 1 \\ 3}=0, [/mm] dann normieren und weiter wie geplant.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 So 27.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie den Abstand zwischen den Geraden mit den
> Gleichungen
> [mm]\overrightarrow{x}= \vektor{2 \\ 5 \\ 5}+ t*\vektor{1 \\ 1 \\ 3}, \overrightarrow{x}= t*\vektor{-1 \\ -1 \\ -3}[/mm]
>
> Hallo MatheForum!
> Komme beim Rechnen dieser Aufgabe gerade nicht weiter.
>
> Normalerweise sucht man ja bei diesem Aufgaben-Typ einen
> Normalenvektor, der sowohl zum Richtungsvektor der einen
> Geraden, als auch zum Richtungsvektor der anderen
> orthogonal ist. Dieser Normalenvektor wird dann normiert.
> Schließlich gilt dann für den Abstand:
> d= [mm]|(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p})* \overrightarrow{n_{0}}|[/mm]
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> (Dabei ist [mm]\overrightarrow{q}[/mm] der Stützvektor der zweiten,
> [mm]\overrightarrow{p}[/mm] der Stützvektor der ersten Gerade).
>
> Soweit so gut.
> Der gesuchte Normalenvektor ist hier in diesem Fall ja
> [mm]\overrightarrow{n}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0},[/mm] oder?
> Auch der Stützvektor der zweiten Geraden beträgt
> [mm]\overrightarrow{q}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}.[/mm]
Hallo,
du musst nicht mit Normalenvektoren arbeiten.
Drücke einfach den Abstand des Punktes (2|5|5) zu einem beliebigen Punkt der anderen Geraden allgemein aus und finde das t, für das dieser Abstand minimal wird.
Gruß Abakus
>
> Damit wäre dann
> d= [mm]|[\vektor{0 \\ 0 \\ 0}-\vektor{2 \\ 5 \\ 5}]* \vektor{0 \\ 0 \\ 0}|[/mm]
>
> Aber das wäre ja dann Abstand d=0.
>
> Diese Lösung kommt mir komisch vor.
> Stimmt das?
> Wenn nicht, was mache ich falsch?
>
> Würde mich sehr über Hilfe freuen!
>
> LG Eli
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