Abstand windschiefer Geraden < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:19 Fr 18.07.2014 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | Ich will den abstand der windschiefen Geraden bestimmen:
h: [mm] x=\vektor{2 \\ 3\\ -5}+t\vektor{9 \\ -1\\ 3}
[/mm]
g: [mm] x=\vektor{0 \\ -1\\ 3}+t\vektor{-1 \\ 1\\ 0} [/mm] |
ich möchte es einmal mit der hesseschen normalform und mit der lotgeraden bestimmen.
Dazu habe ich eine frage zu der hesseschen normalform:
abstand [mm] d=\bruch{(P_2-P_1)*n}{|n|}
[/mm]
[mm] P_2 [/mm] und [mm] P_1 [/mm] sind Punkte auf der Geraden h und g stimmts? kann ich mir irgendeinen beliebigen Punkt auf der geraden aussuchen?
Ist [mm] P_2 [/mm] ein Punkt auf der Geraden h oder g? oder spielt das keine rolle?
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Hallo needmath,
> Ich will den abstand der windschiefen Geraden bestimmen:
>
> h: [mm]x=\vektor{2 \\ 3\\ -5}+t\vektor{9 \\ -1\\ 3}[/mm]
>
> g: [mm]x=\vektor{0 \\ -1\\ 3}+t\vektor{-1 \\ 1\\ 0}[/mm]
> ich
> möchte es einmal mit der hesseschen normalform und mit der
> lotgeraden bestimmen.
>
> Dazu habe ich eine frage zu der hesseschen normalform:
>
> abstand [mm]d=\bruch{(P_2-P_1)*n}{|n|}[/mm]
>
> [mm]P_2[/mm] und [mm]P_1[/mm] sind Punkte auf der Geraden h und g stimmts?
Ja.
> kann ich mir irgendeinen beliebigen Punkt auf der geraden
> aussuchen?
>
> Ist [mm]P_2[/mm] ein Punkt auf der Geraden h oder g? oder spielt das
> keine rolle?
[mm]P_{2}[/mm] und [mm]P_{1}[/mm] müssen auf verschiedenen Geraden liegen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Fr 18.07.2014 | | Autor: | needmath |
hallo mathepower,
> > [mm]P_2[/mm] und [mm]P_1[/mm] sind Punkte auf der Geraden h und g stimmts?
>
>
> Ja.
bitte alle fragen beantworten. ist [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] ein beliebiger Punkt? wenn die geraden parallel wären, dann ja, aber bei windschiefen geraden nicht oder?
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> hallo mathepower,
>
>
> > > [mm]P_2[/mm] und [mm]P_1[/mm] sind Punkte auf der Geraden h und g stimmts?
> >
> >
> > Ja.
>
Hallo,
> bitte alle fragen beantworten. ist [mm]P_1[/mm] und [mm]P_2[/mm] ein
> beliebiger Punkt?
[mm] P_1 [/mm] ist irgendein Punkt auf der ersten Geraden, [mm] P_2 [/mm] irgendein Punkt auf der zweiten Geraden.
> wenn die geraden parallel wären, dann
> ja, aber bei windschiefen geraden nicht oder?
???
LG Angela
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Sa 19.07.2014 | | Autor: | needmath |
ich möchte den abstand nochmal mit der lotgeraden bestimmen.
so normalvektor [mm] n=\vektor{3 \\ 3\\ -8}
[/mm]
der normalvektor schneidet beide geraden g und h. wenn ich die beiden schnittpunkte habe, kann ich den abstand bestimmen.
ich weiß nicht wie ich den ersten schnittpunkt bestimmen soll.
[mm] \vektor{2 \\ 3\\ -5}+t\vektor{9 \\ -1\\ 3}=k*\vektor{3 \\ 3\\ -8}
[/mm]
bestimme ich so den ersten schnittpunkt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:24 Sa 19.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> ich möchte den abstand nochmal mit der lotgeraden
> bestimmen.
>
> so normalvektor [mm]n=\vektor{3 \\ 3\\ -8}[/mm]
>
> der normalvektor schneidet beide geraden g und h. wenn ich
> die beiden schnittpunkte habe, kann ich den abstand
> bestimmen.
>
> ich weiß nicht wie ich den ersten schnittpunkt bestimmen
> soll.
>
> [mm]\vektor{2 \\ 3\\ -5}+t\vektor{9 \\ -1\\ 3}=k*\vektor{3 \\ 3\\ -8}[/mm]
>
> bestimme ich so den ersten schnittpunkt?
Naja. Das was du da zuletzt aufgestellt hast ist fast die Gleichung jener Ebene durch die Gerade h, welche das Gemeinlot enthält.
Richtig wäre:
[mm] $\vec{x}=\vektor{2 \\ 3\\ -5}+t\vektor{9 \\ -1\\ 3}+k*\vektor{3 \\ 3\\ -8}$
[/mm]
Wenn du diese Ebene mit der Geraden g schneidest erhältst du den Fußpunkt des Gemeinlots der auf g liegt.
Gruß RMix
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Hallo rmix,
leider hast du nicht bemerkt, dass der angegebene "Normalvektor"
gar nicht stimmt. Damit weiterzurechnen, lohnt sich also nicht.
Siehe meine andere Antwort.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Sa 19.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Hallo rmix,
>
> leider hast du nicht bemerkt, dass der angegebene
> "Normalvektor"
> gar nicht stimmt. Damit weiterzurechnen, lohnt sich also
> nicht.
>
Stimmt. Den hab ich in der Tat nicht nachgerechnet.
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Hallo needmath
> ich möchte den abstand nochmal mit der lotgeraden
> bestimmen.exakte
>
> so normalvektor [mm]n=\vektor{3 \\ 3\\ -8}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Dies ist kein zu den beiden Geraden normal stehender Vektor,
sondern nur der Verbindungsvektor der beiden gegebenen
Stützpunkte der Geraden !
> der normalvektor schneidet beide geraden g und h. wenn ich
> die beiden schnittpunkte habe, kann ich den abstand
> bestimmen.
>
> ich weiß nicht wie ich den ersten schnittpunkt bestimmen
> soll.
>
> [mm]\vektor{2 \\ 3\\ -5}+t\vektor{9 \\ -1\\ 3}=k*\vektor{3 \\ 3\\ -8}[/mm]
>
> bestimme ich so den ersten schnittpunkt?
Falls wirklich nur der Betrag des Abstandes gefragt
ist, ist wohl die Berechnung mittels Hesse-Normalform am
praktischsten. Dazu brauchst du aber jedenfalls einen
korrekt berechneten Normalvektor. Einen solchen kannst
du am besten durch das Vektorprodukt der Richtungs-
vektoren der beiden Geraden erhalten. Mit diesem
Normalenvektor kannst du dann in die Formel einsetzen,
die du schon angegeben hast.
Ist aber nicht nur der Betrag des Abstands, sondern die
exakte Lage der kürzesten Verbindungsstrecke (die zu
beiden Geraden orthogonal ist) gesucht, so brauchst du
zunächst ebenfalls einen Normalenvektor n.
Bilde dann eine Ebene E, die die erste Gerade h enthält und
parallel zum Vektor n ist. Bestimme dann den Schnittpunkt G
von E mit der anderen Geraden g. Dies ist der Endpunkt der
kürzesten Transversalen, der auf g liegt. Wenn du dann die
Gerade t , die durch G verläuft und parallel zu n ist, mit
h schneidest, erhältst du den anderen, auf h liegenden
Endpunkt H. Dann berechne den Abstand d als Punktabstand
von G und H.
Eine weitere Möglichkeit wäre, die Aufgabe als Extremal-
aufgabe mit 2 Variablen zu betrachten. Betrachte dazu die
Parameterdarstellungen beider Geraden:
h: $ [mm] H(s)=\vektor{2 \\ 3\\ -5}+s*\vektor{9 \\ -1\\ 3} [/mm] $
g: $ [mm] G(t)=\vektor{0 \\ -1\\ 3}+t*\vektor{-1 \\ 1\\ 0} [/mm] $
Beachte, dass nicht beide Parameter mit "t" bezeichnet
werden dürfen !
Berechne dann die Werte von s und t so, dass der Abstand
d(s,t)=Abstand(H(s),G(t)) minimal wird.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Sa 19.07.2014 | | Autor: | needmath |
Hallo
>>[mm]n=\vektor{3 \\ 3\\ -8}[/mm]
>
> Dies ist kein zu den beiden Geraden normal stehender
> Vektor,
> sondern nur der Verbindungsvektor der beiden gegebenen
> Stützpunkte der Geraden !
meines wissens nach ist das schon richtig so:
[mm] \vektor{-1 \\ 1\\ 0} [/mm] x [mm] \vektor{9 \\ -1\\ 3}=\vektor{3 \\ 3\\ -8}=n
[/mm]
Wenn ich das kreuzprodukt aus den beiden richtungsvektoren zweier geraden bilde, dann erhalte ich einen vektor, der senkrecht zu den beiden geraden ist.
> Ist aber nicht nur der Betrag des Abstands, sondern die
> exakte Lage der kürzesten Verbindungsstrecke (die zu
> beiden Geraden orthogonal ist) gesucht, so brauchst du
> zunächst ebenfalls einen Normalenvektor n.
das wäre meine nächste frage gewesen. ich will den kürzesten Abstand der beiden geraden bestmmen
> Bilde dann eine Ebene E, die die erste Gerade h enthält und parallel zum Vektor n ist.
meinst du vielleicht senkrecht statt parallel?
> Bestimme dann den Schnittpunkt G von E mit der anderen Geraden g. Dies ist der Endpunkt der kürzesten Transversalen, der auf g liegt. Wenn du dann die Gerade t , die durch G verläuft und parallel zu n ist, mit h schneidest, erhältst du den anderen, auf h liegenden Endpunkt H. Dann berechne den Abstand d als Punktabstand von G und H.
E: [mm] x=\vektor{2 \\ 3\\ -5}+t\vektor{9 \\ -1\\ 3}+s\vektor{-1 \\ 1\\ 0}
[/mm]
diese Ebene ist paralle zu der Geraden g. ich habe eine Hilfsebene immer aus den richtungsvektoren der beiden geraden gebildet.
setze ich den normalvektor n gleich der ebene, um so den "fuß" des normalvektors zu bestimmen?
[mm] \vektor{2 \\ 3\\ -5}+t\vektor{9 \\ -1\\ 3}+s\vektor{-1 \\ 1\\ 0}=\vektor{3 \\ 3\\ -8}
[/mm]
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Hallo,
> Hallo
> >>[mm]n=\vektor{3 \\ 3\\ -8}[/mm]
> >
> > Dies ist kein zu den beiden Geraden normal stehender
> > Vektor,
> > sondern nur der Verbindungsvektor der beiden gegebenen
> > Stützpunkte der Geraden !
>
> meines wissens nach ist das schon richtig so:
>
> [mm]\vektor{-1 \\ 1\\ 0}[/mm] x [mm]\vektor{9 \\ -1\\ 3}=\vektor{3 \\ 3\\ -8}=n[/mm]
>
> Wenn ich das kreuzprodukt aus den beiden richtungsvektoren
> zweier geraden bilde, dann erhalte ich einen vektor, der
> senkrecht zu den beiden geraden ist.
Ja, da hat sich Al vermutlich irgendwo verlesen. Aber dein gemeinsamer Lotvektor ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > Ist aber nicht nur der Betrag des Abstands, sondern die
> > exakte Lage der kürzesten Verbindungsstrecke (die zu
> > beiden Geraden orthogonal ist) gesucht, so brauchst du
> > zunächst ebenfalls einen Normalenvektor n.
>
> das wäre meine nächste frage gewesen. ich will den
> kürzesten Abstand der beiden geraden bestmmen
>
>
> > Bilde dann eine Ebene E, die die erste Gerade h enthält
> und parallel zum Vektor n ist.
>
> meinst du vielleicht senkrecht statt parallel?
Nein, hier ist wohl eine Rechnung per Hilfsebene gedacht. Wenn die Ebene h enthält und parallel zu n verläuft, dann kann man sie mit g schneiden und erhält so einen der beiden Lotfußpunkte. Durch diesen legt man eine Gerade in Richtung von n, welche dann notgedrungen die Gerade h schneiden muss. Dieser Schnittpunkt ist der zweite Lotfußpunkt und der Abstand dieser beioden Punkte ist gleichzeitig der Abstand der beiden Geraden (im Sinn von der kürzeste Abstand).
> > Bestimme dann den Schnittpunkt G von E mit der anderen
> Geraden g. Dies ist der Endpunkt der kürzesten
> Transversalen, der auf g liegt. Wenn du dann die Gerade t ,
> die durch G verläuft und parallel zu n ist, mit h
> schneidest, erhältst du den anderen, auf h liegenden
> Endpunkt H. Dann berechne den Abstand d als Punktabstand
> von G und H.
>
> E: [mm]x=\vektor{2 \\ 3\\ -5}+t\vektor{9 \\ -1\\ 3}+s\vektor{-1 \\ 1\\ 0}[/mm]
>
> diese Ebene ist paralle zu der Geraden g. ich habe eine
> Hilfsebene immer aus den richtungsvektoren der beiden
> geraden gebildet.
>
> setze ich den normalvektor n gleich der ebene, um so den
> "fuß" des normalvektors zu bestimmen?
>
> [mm]\vektor{2 \\ 3\\ -5}+t\vektor{9 \\ -1\\ 3}+s\vektor{-1 \\ 1\\ 0}=\vektor{3 \\ 3\\ -8}[/mm]
>
Den Rest bis hier kapiere ich nicht, sorry. Weshalb setzt du eine Ebenengleichung mit ihrem Normalenvektor gleich?
Gruß, Diophant
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> Hallo
> >>[mm]n=\vektor{3 \\ 3\\ -8}[/mm]
> >
> > Dies ist kein zu den beiden Geraden normal stehender
> > Vektor,
> > sondern nur der Verbindungsvektor der beiden gegebenen
> > Stützpunkte der Geraden !
>
> meines wissens nach ist das schon richtig so:
>
> [mm]\vektor{-1 \\ 1\\ 0}[/mm] x [mm]\vektor{9 \\ -1\\ 3}=\vektor{3 \\ 3\\ -8}=n[/mm]
>
> Wenn ich das kreuzprodukt aus den beiden richtungsvektoren
> zweier geraden bilde, dann erhalte ich einen vektor, der
> senkrecht zu den beiden geraden ist.
Ohje, ich hatte mich bei meiner Berechnung von n verrechnet,
da ich zwei Koordinaten verwechselt hatte. Eigenartigerweise
hatte dieser Fehler dann die Konsequenz, dass dein Vektor n
dann gerade zu einem Transversalvektor (nicht dem kürzesten)
meiner neuen Geraden wurde ...
Sorry !
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Sa 19.07.2014 | | Autor: | needmath |
achso jetzt verstehe ich das
Hilfsebene E: [mm] x=\vektor{2 \\ 3\\ -5}+t\vektor{9 \\ -1\\ 3}+s\vektor{3 \\ 3\\ -8}
[/mm]
die gerade g verläuft durch die ebene. also gibt es einen schnittpunkt:
[mm] \vektor{2 \\ 3\\ -5}+t\vektor{9 \\ -1\\ 3}+s\vektor{3 \\ 3\\ -8}= \vektor{0 \\ -1\\ 3}+k\vektor{-1 \\ 1\\ 0}
[/mm]
t=0
s=-1
k=1
in die Ebene eingesetzt, ergibt
[mm] \vektor{-1 \\ 0\\ 3}
[/mm]
das ist nun mein fußpunt der lotgeraden
Lotgerade [mm] \vektor{-1 \\ 0\\ 3}+s\vektor{3 \\ 3\\ -8}
[/mm]
s= -1
[mm] \vektor{-1 \\ 0\\ 3}+\vektor{-3 \\ -3\\ 8}
[/mm]
wenn ich jetzt den kürzesten abstand bestimmen möchte, teile ich den richtungsvektor durch 2
[mm] \vektor{-1 \\ 0\\ 3}+\bruch{1}{2}\vektor{-3 \\ -3\\ 8})=M
[/mm]
M=kürzester punkt zwischen den geraden
wäre das so richtig?
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Hallo needmath,
da hier jetzt schon mehrere mögliche Lösungswege genannt wurden, möchte ich den für solche Zwecke naheliegendsten Weg per Formel nachreichen. Mit der geometrischen Bedeutung des sog. Spatprodukts und der Tatsache, das ein solcher Spat ein Prisma ist, macht man sich hier leicht klar, weshalb die Formel funktioniert. Es seien
[mm] \vec{s}_1, \vec{r}_1: [/mm] Stütz- und Richtungsvektor der ersten sowie
[mm] \vec{s}_2, \vec{r}_2: [/mm] Stütz- und Richtungsvektor der zweiten Geraden. Dann liefert
[mm] d=\frac{\left|\left(\vec{s}_2-\vec{s}_1\right)\circ\vec{r}_1\times\vec{r}_2\right|}{\left|\vec{r}_1\times\vec{r}_2\right|}
[/mm]
den gesuchten Abstand.
Gruß, Diophant
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Klar, das wäre nun noch das Tüpfli auf dem i !
(hätte mir auch einfallen sollen !)
LG , Al
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