Abstand windschiefe Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Sa 30.01.2010 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Abstand der windschiefen Geraden (mit den Lotfußpunkten)
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{1 \\ 4 \\ -3}
[/mm]
h: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] s*\vektor{1 \\ 0 \\ -2}
[/mm]
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Moin,
1. Bisher kannte ich nur die Formel:
d(g,h) = | ( [mm] \vec{q} [/mm] - [mm] \vec{p} )*\vec{n_0} [/mm] |
mit [mm] \vec{n_0} [/mm] = [mm] \bruch{ \vec{u} x \vec{v} }{ | \vec{u} x \vec{v} | } [/mm] .
2. Heute habe ich kennen gelernt
d(g,h) = [mm] \bruch{V_{Spat}}{A_{Grundflaeche}}
[/mm]
mit [mm] V_{Spat} [/mm] = ( [mm] \vec{u} [/mm] x [mm] \vec{v} [/mm] ) * [mm] \vec{c} [/mm]
und [mm] A_{Grundflaeche} [/mm] = | [mm] \vec{u} [/mm] x [mm] \vec{v} [/mm] |
wobei mir noch nicht klar ist, wie ich hier [mm] \vec{c} [/mm] bestimmen kann?
3. Unter Einbeziehung der Lotfußpunkte , haben wir das Lotfußpunktverfahren angewandt... aber hier komme ich nicht weiter!!
Der eine Lotfußpunkt ergibt sich aus g
[mm] F_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{1 \\ 4 \\ -3}
[/mm]
der andere aus h
[mm] F_2 [/mm] = [mm] s*\vektor{1 \\ 0 \\ -2}
[/mm]
3.1. Mithilfe des Skalarproduktes ergibt sich...
[mm] \overline{F_1F_2}*\vektor{1 \\ 4 \\ -3} [/mm] = 0
und
[mm] \overline{F_1F_2}*\vektor{1 \\ 0 \\ -2} [/mm] = 0
Ich habe nur die erste Gleichung betrachtet...
[mm] \overline{F_1F_2}*\vektor{1 \\ 4 \\ -3} [/mm] = 0
( [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] + s * [mm] \vektor{1\\0\\-2} [/mm] - [mm] (\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{1\\4\\-3}))*\vektor{1 \\ 4 \\ -3} [/mm] = 0
Nach Umformung erhalte ich
-5 + 7*s -26 * r = 0
Wie geht es jetzt weiter???
Danke & Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Sa 30.01.2010 | | Autor: | chrisno |
> d(g,h) = | ( [mm]\vec{q}[/mm] - [mm]\vec{p} )*\vec{n_0}[/mm] |
>
> mit [mm]\vec{n_0}[/mm] = [mm]\bruch{ \vec{u} x \vec{v} }{ | \vec{u} x \vec{v} | }[/mm]
> .
>
> 2. Heute habe ich kennen gelernt
>
> d(g,h) = [mm]\bruch{V_{Spat}}{A_{Grundflaeche}}[/mm]
>
> mit [mm]V_{Spat}[/mm] = ( [mm]\vec{u}[/mm] x [mm]\vec{v}[/mm] ) * [mm]\vec{c}[/mm]
>
> und [mm]A_{Grundflaeche}[/mm] = | [mm]\vec{u}[/mm] x [mm]\vec{v}[/mm] |
>
> wobei mir noch nicht klar ist, wie ich hier [mm]\vec{c}[/mm]
> bestimmen kann?
Vergleiche die beiden Formeln. Dann siehst Du, wie c zu bestimmen ist. Nimm von jeder Geraden einen beliebigen Punkt und bilde den Differenzvektor.
>
> Nach Umformung erhalte ich
>
> -5 + 7*t -26*s = 0
Nur hieß das s eben noch r und das t war früher mal ein s. Das stört mich weniger, solange Du den Überblick behälst.
>
> Wie geht es jetzt weiter???
>
Du hast ja selbst geschrieben, dass Du erst eine Gleichung bearbeitet hast. Nimm die nächste. Dann hast Du zwei Gleichungen mit zwei Umbekannten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:42 So 31.01.2010 | | Autor: | hase-hh |
> > 2. Heute habe ich kennen gelernt
> >
> > d(g,h) = [mm]\bruch{V_{Spat}}{A_{Grundflaeche}}[/mm]
> >
> > mit [mm]V_{Spat}[/mm] = ( [mm]\vec{u}[/mm] x [mm]\vec{v}[/mm] ) * [mm]\vec{c}[/mm]
> >
> > und [mm]A_{Grundflaeche}[/mm] = | [mm]\vec{u}[/mm] x [mm]\vec{v}[/mm] |
> >
> > wobei mir noch nicht klar ist, wie ich hier [mm]\vec{c}[/mm]
> > bestimmen kann?
>
> Vergleiche die beiden Formeln. Dann siehst Du, wie c zu
> bestimmen ist. Nimm von jeder Geraden einen beliebigen
> Punkt und bilde den Differenzvektor.
Welche beiden Formeln soll ich vergleichen?
Kommt da nicht immer etwas anderes heraus ???
[mm] \vec{c} [/mm] = [mm] \vec{q} -\vec{p} [/mm] ???
> >
> > Wie geht es jetzt weiter???
> >
>
> Du hast ja selbst geschrieben, dass Du erst eine Gleichung
> bearbeitet hast. Nimm die nächste. Dann hast Du zwei
> Gleichungen mit zwei Umbekannten.
ok
Zwischenergebnis
I. -5 +7s -26r = 0
jetzt die 2. Gleichung...
[mm] \overline{F_1F_2}*\vektor{1 \\ 0 \\ -2} [/mm] = 0
( [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] + [mm] s*\vektor{1\\0\\-2} [/mm] - [mm] (\vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{1\\4\\-3}))*\vektor{1 \\ 0 \\ -2} [/mm] = 0
II. -1 + 5*s -7*r = 0
=> r = - [mm] \bruch{2}{9}
[/mm]
s = - [mm] \bruch{1}{9}
[/mm]
Weiter. Berechnung der Lotfußpunkte.
[mm] F_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] r*\vektor{1 \\ 4 \\ -3} [/mm] => [mm] \vektor{\bruch{7}{9} \\ \bruch{1}{9} \\ \bruch{2}{3}}
[/mm]
[mm] F_2 [/mm] = [mm] s*\vektor{1 \\ 0 \\ -2} [/mm] => [mm] \vektor{- \bruch{1}{9} \\ 0 \\ \bruch{2}{9}}
[/mm]
Und schließlich den Abstand von [mm] F_1 [/mm] zu [mm] F_2 [/mm] berechnen...
[mm] d(F_2,F_1) [/mm] = | [mm] \vektor{ \bruch{8}{9}\\ \bruch{1}{9} \\ \bruch{4}{9}} [/mm] | = 1
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> > > 2. Heute habe ich kennen gelernt
> > >
> > > d(g,h) = [mm]\bruch{V_{Spat}}{A_{Grundflaeche}}[/mm]
> > >
> > > mit [mm]V_{Spat}[/mm] = ( [mm]\vec{u}[/mm] x [mm]\vec{v}[/mm] ) * [mm]\vec{c}[/mm]
> > >
> > > und [mm]A_{Grundflaeche}[/mm] = | [mm]\vec{u}[/mm] x [mm]\vec{v}[/mm] |
> > >
> > > wobei mir noch nicht klar ist, wie ich hier [mm]\vec{c}[/mm]
> > > bestimmen kann?
> >
> > Vergleiche die beiden Formeln. Dann siehst Du, wie c zu
> > bestimmen ist. Nimm von jeder Geraden einen beliebigen
> > Punkt und bilde den Differenzvektor.
>
> Welche beiden Formeln soll ich vergleichen?
>
> Kommt da nicht immer etwas anderes heraus ???
>
> [mm]\vec{c}[/mm] = [mm]\vec{q} -\vec{p}[/mm] ???
Hallo,
Du hast nun ein Spat, welches aufgespannt wird von den beiden Richtungsvektoren der Geraden und dem Differenzvektor [mm] \vec{c}.
[/mm]
Egal, welche Punkte P und Q Du für [mm] \vec{c} [/mm] verwendest, das Volumen des Spats wird immer gleich sein: Grundfläche* Höhe.
Die Höhe ist der Abstand zwischen Grund- und Deckfläche, und der ist immer gleich, denn die beiden Flächen liegen ja immer in derselbenen parallelen Ebenen, die eine in
[mm] E_1: [/mm] $ [mm] \vec{x} [/mm] $ = $ [mm] r\cdot{}\vektor{1 \\ 4 \\ -3} [/mm] $+ $ [mm] s\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ -2} [/mm] $,
die andere in
[mm] E_2: [/mm] $ [mm] \vec{x} [/mm] $ = [mm] \vektor{1\\1\\0}+$ r\cdot{}\vektor{1 \\ 4 \\ -3} [/mm] $+ $ [mm] s\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\ -2} [/mm] $.
Die Lotfußpunkte hast Du richtig ausgerechnet.
Gruß v. Angela
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