Abstand vom Ursprung < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 So 13.12.2009 | | Autor: | fluvius |
| Aufgabe | | Wie berechnet man mithilfe der hesseschen Normalenform von einer Ebene den Abstand zum Ursprung? |
Ich habe mir folgendes gedacht. Man könnte ja den Punkt (000) in die Hessesche Normalenform (Abstandsformel) einsetzten. Im Endeffekt könnte man den Abstand dann ja direkt aus der Formel ablesen (wird mir 1 multipliziert, der Einheitsvektor hat ja die Länge 1), es wäre der Stützvektor. Aber dann habe ich ja den Abstand vom einem Stützpunkt der Ebene zum Ursprung berechnet. Ich will aber den Abstand (kürzester Weg) von der Ebene zum Ursprung. Kann mir da jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:43 Mo 14.12.2009 | | Autor: | glie |
> Wie berechnet man mithilfe der hesseschen Normalenform von
> einer Ebene den Abstand zum Ursprung?
> Ich habe mir folgendes gedacht. Man könnte ja den Punkt
> (000) in die Hessesche Normalenform (Abstandsformel)
> einsetzten. Im Endeffekt könnte man den Abstand dann ja
> direkt aus der Formel ablesen (wird mir 1 multipliziert,
> der Einheitsvektor hat ja die Länge 1), es wäre der
> Stützvektor. Aber dann habe ich ja den Abstand vom einem
> Stützpunkt der Ebene zum Ursprung berechnet. Ich will aber
> den Abstand (kürzester Weg) von der Ebene zum Ursprung.
> Kann mir da jemand helfen?
Hallo und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ein einfaches Beispiel:
Ebene E in Koordinatenform:
[mm] $E:2x_1+x_2-2x_3-5=0$
[/mm]
Ein Normalenvektor dieser Ebene ist [mm] $\vec{n}=\vektor{2 \\ 1 \\ -2}$
[/mm]
Länge dieses Normalenvektors ist [mm] $\wurzel{2^2+1^2+(-2)^2}=3$
[/mm]
Also Hesse-Normalform der Ebene E:
[mm] $E:\bruch{2x_1+x_2-2x_3-5}{3}=0$
[/mm]
Abstand des Punktes $O(0/0/0)$ zur Ebene E:
[mm] $d(O;E)=|\bruch{2*0+0-2*0-5}{3}|=|-\bruch{5}{3}|=\bruch{5}{3}$
[/mm]
Gruß Glie
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
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