Abstand eines punktes von eben < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Simge |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Abstand des Punktes p(5/15/9) von der Ebene durch die Punkte A(2/2/0), B(-2/2/6) und C(3/2/5) |
Hallo!
Also ich bräuchte dringend Hilfe! Ich weiß bei dieser Aufgabe nicht was ich machen soll, also ich hab mal eine Ebenengleichung aufgestellt aber weiter weiß ich echt nicht:
[mm] E:\overrightarrow{x}= [/mm] (2/2/0)+ r(-4/0/6)+ s(1/0/5)
ist das richtig wenn ja, dann weiß ich nicht was ich tun soll. Ich brauch doch noch eine Normalenform damit ich den abstand berechnen kann oder? und wie krieg ich diese normalenform jetzt? in den anderen aufgaben war die immer vorgegeben und die koordinatengleichung auch, hier ist das jetzt ganz anders.
Wäre super wenn ihr mir helfen könnt, zumal ich das morgen auch noch erklären soll und ich das ja noch nicht mal selbst verstanden hab.
Danke im vorraus
Glg Simge
|
|
| |
|
Hallo Simge,
> Bestimmen Sie den Abstand des Punktes p(5/15/9) von der
> Ebene durch die Punkte A(2/2/0), B(-2/2/6) und C(3/2/5)
> Hallo!
> Also ich bräuchte dringend Hilfe! Ich weiß bei dieser
> Aufgabe nicht was ich machen soll, also ich hab mal eine
> Ebenengleichung aufgestellt aber weiter weiß ich echt
> nicht:
>
> [mm]E:\overrightarrow{x}=[/mm] (2/2/0)+ r(-4/0/6)+ s(1/0/5)
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> ist das richtig wenn ja, dann weiß ich nicht was ich tun
> soll. Ich brauch doch noch eine Normalenform damit ich den
> abstand berechnen kann oder? und wie krieg ich diese
> normalenform jetzt? in den anderen aufgaben war die immer
> vorgegeben und die koordinatengleichung auch, hier ist das
> jetzt ganz anders.
Ich schreib das mal etwas anders:
[mm]E:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OA}+r*\overrightarrow{AB}+s*\overrightarrow{AC}[/mm]
mit
[mm]\overrightarrow{OA}, \ \overrightarrow{OB}, \ \overrightarrow{OC}[/mm] die Ortsvektoren zu den Punkten A,B und C sind,
sowie
[mm]\overrightarrow{AB}:=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}[/mm]
[mm]\overrightarrow{AC}:=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}[/mm]
Um zu der Normalenform der Ebenengleichung zu kommen, benötigst Du einen
Normalenvektor, einen Vektor der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Ebene steht. Dieser ergibt sich durch das Vektorprodukt dieser beiden Richtungsvektoren:
[mm]\overrightarrow{n}:=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}[/mm]
Dann lautet die Normalenform der Ebenengleichung:
[mm]\left(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{OA}\right) \* \overrightarrow{n}=0[/mm]
Um den Abstand des Punktes P von der Ebene zu bestimmen, benötigst Du eine Gerade
[mm]g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OP}+t*\overrightarrow{n}[/mm]
Diese wird jetzt mit der Ebene E geschnitten.
Dann ist der Abstand d gegeben durch [mm]d=\vmat{t*\overrightarrow{n}}[/mm]
> Wäre super wenn ihr mir helfen könnt, zumal ich das morgen
> auch noch erklären soll und ich das ja noch nicht mal
> selbst verstanden hab.
> Danke im vorraus
> Glg Simge
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Simge |
Hallo MathePower! Also erstmal vielen dank für die Hilfe
so also ich hab es mal versucht:
für [mm] \vec{n}= \vektor{-4 \\ 0 \\ 6} [/mm] x [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 5}= \vektor{0 \\ 26 \\ 0}
[/mm]
so und dann, [mm] (\vec{x} [/mm] - {2 [mm] \\ [/mm] 2 [mm] \\ [/mm] 0} ) [mm] \* \vektor{0 \\ 26 \\ 0}
[/mm]
[mm] g:\vec{x}=\vektor{5 \\ 15 \\ 9}+ [/mm] t [mm] \vektor{0 \\ 26 \\ 0}
[/mm]
5+ 15+ 26t+9=0
26t=-29
[mm] t=\bruch{-29}{26}
[/mm]
und das in die geradengleichung einsetzen oder? dann bekomme ich
F(5/-14/9)
[mm] |\overrightarrow{PF}|= \wurzel{5^2+(14-26)^2+9^2 }= [/mm] 15,811
ich weiß nicht ob das richtig ist, es soll nämlich 13 rauskommen am ende. Ist das so richtig was ich gemacht habe?
Glg Simge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:25 Do 13.11.2008 | | Autor: | Simge |
Vielen vielen dank für eure Hilfe, ich habs jetzt verstanden
|
|
|
|
