Abstand eines Punktes < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:18 Sa 31.05.2014 | | Autor: | Tobi85_ |
| Aufgabe | Man bestimme den Abstand
des Punktes P = (2, 1, 3) von der Geraden durch die Punkte Q = (1, 1, 1) und
R = (2, 3, 4). |
Ich komme bei der Lösung dieser Aufgabe auf ein falsches Ergebnis. Die Lösung soll sein [mm] \wurzel{3/2}.
[/mm]
Ich habe die Aufgabe mit der Formel [mm] d=\bruch{|\vec{P} - \vec{Q} \times \vec{r}|}{|\vec{r}|}
[/mm]
Für P-Q hab ich den raus: (1,0,2)
und dann das Kreuzprodukt mit Vektor [mm] \vec{r} [/mm] ergibt (0,-4,3).
Dann hab ich das in die Formel eingesetzt und ausgerechnet.
[mm] d=\bruch{|(1,0,2) \times (2,3,4)|}{|\vec{2,3,4}|}
[/mm]
=> [mm] d=\bruch{\wurzel{(0^2+-4^2+3^2)}}{\wurzel{\vec{2^2+3^2+4^2}}}
[/mm]
Dann kommt aber bei mir [mm] \wurzel{25/29} [/mm] raus.
Was hab ich denn falsch gemacht?
Dankeschön für Rat!
Gruß
Tobi
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Hallo,
dein Fehler liegt im sträflichen Missbrauch der Variable r.
Mache dir klar, was dieser Vektor [mm]\vec r[/mm] in der Formel ist ...
Das ist der Richtungsvektor der Gerade durch [mm]Q[/mm] und [mm]R[/mm], wobei du [mm]Q[/mm] als Ortsvektor genommen hast.
Sprich: [mm]\vec r=\vec{R}-\vec Q[/mm]
Bestimmt doch zunächst mal die Gerade durch [mm]Q[/mm] und [mm]R[/mm].
Dann schaue dir nochmal die Formel an im Zusammenhang mit den Bezeichnungen, die du mit deiner Rechnung dann hast ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Sa 31.05.2014 | | Autor: | Tobi85_ |
Hm, danke für die schnelle Antwort und Aufklärung.
Die Geradengleichung wäre ja dann:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{Q} [/mm] + r * [mm] \overrightarrow{QR}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{QR} [/mm] = Q-R = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ -3 }
[/mm]
also dann:
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + r * [mm] \vektor{-1 \\ -2 \\ -3 }
[/mm]
und wie würde mir das nun weiterhelfen?
r wäre dann
[mm] \vec{r} [/mm] = R-Q = [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 4} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 } [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] ?
danke danke
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Hallo nochmal,
> Hm, danke für die schnelle Antwort und Aufklärung.
>
> Die Geradengleichung wäre ja dann:
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{Q}[/mm] + r * [mm]\overrightarrow{QR}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{QR}[/mm] = Q-R = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] - [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 4}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ -2 \\ -3 }[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> also dann:
> g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + r * [mm]\vektor{-1 \\ -2 \\ -3 }[/mm]
Nicht schon wieder ein "r" 
[mm]g:\vec x=\vektor{1\\1\\1}+\red t\cdot{}\vektor{-1\\-2\\-3}[/mm] mit [mm]t\in\IR[/mm]
>
> und wie würde mir das nun weiterhelfen?
> r wäre dann
> [mm]\vec{r}[/mm] = R-Q = [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 4}[/mm] - [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 }[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] ?
Das [mm]\vec r[/mm] wurde in der Formel nicht ohne Grund so genannt; es ist der RICHTUNGSvektor der Geraden.
Hast du einen Punkt [mm]P[/mm] und eine Gerade [mm]g:\vec x=\vec a+t\cdot{}\vec r[/mm] mit [mm]t\in\IR[/mm], so ist der Abstand [mm]d[/mm] von [mm]P[/mm] zu [mm]g[/mm] gegeben durch die Formel
[mm]d=\frac{\left|\left(\vec P-\vec a\right)\times\vec r\right|}{\left|\vec r\right|}[/mm]
Dem [mm]\vec r[/mm] in der Formel entspricht also genau dein Richtungsvektor [mm]\vektor{-1\\-2\\-3}[/mm]
>
> danke danke
Bitte, bitte
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Sa 31.05.2014 | | Autor: | Tobi85_ |
jawoll!
Habs auch gerade selber gemerkt und nochmal gerechnet und dann kam [mm] \wurzel{21/14} [/mm] raus was ja [mm] \wurzel{3/2} [/mm] ist.
Das mit der Geraden hatte ich auch in einem Beispiel und hatte dann wie Du/Sie auch gesagt hattest/en [mm] \vec{r} [/mm] falsch in der Formel verwendet.... und [mm] \vec{r} [/mm] war dann genau (-1,-,2,-3) durch das rechnen von [mm] \overrightarrow{QR}. [/mm] Hatte dann nicht aufgepasst.
Danke für die Hilfe 
achja stimmt t ist besser statt r :-D
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Hallo nochmal,
> jawoll!
> Habs auch gerade selber gemerkt und nochmal gerechnet und
> dann kam [mm]\wurzel{21/14}[/mm] raus was ja [mm]\wurzel{3/2}[/mm] ist.
>
> Das mit der Geraden hatte ich auch in einem Beispiel und
> hatte dann wie Du/Sie auch gesagt hattest/en
Hier im Forum sind alle per "du" ...
> [mm]\vec{r}[/mm] falsch
> in der Formel verwendet.... und [mm]\vec{r}[/mm] war dann genau
> (-1,-,2,-3) durch das rechnen von [mm]\overrightarrow{QR}.[/mm]
> Hatte dann nicht aufgepasst.
>
> Danke für die Hilfe
>
> achja stimmt t ist besser statt r :-D
Schön, dass es geklappt hat - weiter so!
Schönen Restabend!
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Sa 31.05.2014 | | Autor: | Tobi85_ |
Danke, für die Zeit !
Ebenso!
Und ich werd bestimmt noch einige Aufgaben posten :P
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