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| Aufgabe | | Für jedes Paar reeller Zahlen c und d ist duch 3x+y+dz=6+c-d eine Ebene E(c;d) gegeben. Bestimmen Sie die Koordinaten aller Punkte T auf der Geraden g, die zur Ebene E(0,5;0,75) einen Abstand von 2 Längeneinheiten haben! (Gerade g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 7 \\ -3 \\ 2 } [/mm] + t * [mm] \pmat{ -7 \\ 5 \\ -3 } [/mm] ) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallo!
Also ich habe versucht den Spaß über die Hessesche Normalenform zu lösen und komme nach verschiedenem Umstellen und Einsetzen auf t=29/73. Also zum Nachvollziehen: mein erster Term ist 12,25 = | 3x + y +0,75z | und ich habe für x=7-7t , y=-3+5t und z=2-3t eingesetzt.
So, meine 29/73 habe ich dann wieder in x=7-7t , y=-3+5t und z=2-3t eingesetzt und komme leider auf falsche Ergebnisse. Außerdem nehme ich an, dass es mindestens 2 Punkte gibt, die jenen Abstand von E haben, was schonmal wieder Mist ist, da ich maximal auf einen komme. Um euch ein wenig zu helfen habe ich hier die wahrscheinlichen Lösungen:
T1(-56/73;40/73;-90/73)
T2(-14/73;10/73,79/73)
Die Lösungen sind von einer Freundin, aber ob die richtig sind kann ich auch nicht garantieren. Meine Freundin hat die ganze Sache irgendwie anders gelöst, aber mein Lösungsweg müsste doch auch zum Ziel führen, oder?
Dass ich nur eine Lösung heraus bekomme kann auch daran liegen, dass ich mit den Betragsstrichen der hessischen Normalen nicht ganz klar kam.
Also es wäre ganz toll, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke, danke, danke!
LG
Caro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 So 23.04.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo CarolinchenBienchen ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Für jedes Paar reeller Zahlen c und d ist duch
> 3x+y+dz=6+c-d eine Ebene E(c;d) gegeben. Bestimmen Sie die
> Koordinaten aller Punkte T auf der Geraden g, die zur Ebene
> E(0,5;0,75) einen Abstand von 2 Längeneinheiten haben!
> (Gerade g: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\pmat{ 7 \\ -3 \\ 2 }[/mm] + t * [mm]\pmat{ -7 \\ 5 \\ -3 }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> )
Dann lautet die Ebenengleichung
$3x+y+0.75z=6+0.5-0.75$
$3x+y+0.75z=5.75$
Für die Hessesche Normalenform in Koordinatenform gilt
$d= \br{3x+y+0.75z-5.75}{\wurzel{3^2+1^2+0.75^2}}$
Der Abstand soll 2 sein, zusätzlich setzen wir die Geradengleichung ein:
$2= \br{3(7-7t)+(-3+5t)+0.75(2-3t)-5.75}{\wurzel{3^2+1^2+0.75^2}}$
$2= \br{3(7-7t)+(-3+5t)+0.75(2-3t)-5.75}{\wurzel{\br{169}{16}}$
$2= \br{3(7-7t)+(-3+5t)+0.75(2-3t)-5.75}{\br{13}{4}}//*\br{13}{4}$
$\br{13}{2} = 3(7-7t)+(-3+5t)+0.75(2-3t)-5.75$
$\br{13}{2} = \br{55 - 73t}{4} //*4$
$26 = 55 - 73t //-55$
$-29 = - 73t //:(-73)$
$t_1 = \br{29}{73}$
>
> Hallo!
> Also ich habe versucht den Spaß über die Hessesche
> Normalenform zu lösen und komme nach verschiedenem
> Umstellen und Einsetzen auf t=29/73. Also zum
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Nachvollziehen: mein erster Term ist 12,25 = | 3x + y
> +0,75z | und ich habe für x=7-7t , y=-3+5t und z=2-3t
> eingesetzt.
> So, meine 29/73 habe ich dann wieder in x=7-7t , y=-3+5t
> und z=2-3t eingesetzt und komme leider auf falsche
> Ergebnisse.
Auf was für Ergebnisse kommst du denn und warum glaubst du, dass sie falsch sind? So kann man es jedoch machen.
Es ist nichts anderes als
$\vec{a_1} = \pmat{ 7 \\ -3 \\ 2 } +\br{29}{73} * \pmat{ -7 \\ 5 \\ -3 }$
> Außerdem nehme ich an, dass es mindestens 2
> Punkte gibt, die jenen Abstand von E haben, was schonmal
> wieder Mist ist, da ich maximal auf einen komme.
Naja, eigentlich habe ich und du auch bei der Lösung vorher etwas gefuscht, denn die HNF für die Koordinatenform lautet ja eigentlich
$|d|= |\br{3x+y+0.75z-5.75}{\wurzel{3^2+1^2+0.75^2}}|$
Betrag daher, da es keine negativen Abstände gibt, doch wenn eine Gerade eine Ebene schneidet, ist es wohl möglich, dass man einen positiven Abstand hat und einen negativen. Weil der eine Abstand der Ebene nach 'vorne' geht und der andere Abstand eben nach 'hinten'. In Worten ist das schwer zu erklären, man kann es aber schön veranschaulichen. Am besten wäre es, du nimmst es so hin.
Daher gilt für unser t_2
$-d= \br{3x+y+0.75z-5.75}{\wurzel{3^2+1^2+0.75^2}}$
$-2= \br{3x+y+0.75z-5.75}{\wurzel{3^2+1^2+0.75^2}}$
Das musst du jetzt wieder auflösen.
> Um euch
> ein wenig zu helfen habe ich hier die wahrscheinlichen
> Lösungen:
> T1(-56/73;40/73;-90/73)
> T2(-14/73;10/73,79/73)
Das prüfe ich jetzt mal nicht nach, da ich gerade keinen Taschenrechner zur Hand habe... Aber das berechnete t_1 ist auf jedenfall richtig. Du musst es ja nur noch in die Geradengleichung einsetzen und du bekommst den Punkt.
> Die Lösungen sind von einer Freundin, aber ob die richtig
> sind kann ich auch nicht garantieren. Meine Freundin hat
> die ganze Sache irgendwie anders gelöst, aber mein
> Lösungsweg müsste doch auch zum Ziel führen, oder?
Der Weg führt definitiv zum Ziel. In der linearen Algebra ist es auch häufig so: viele Wege füren nach Rom. Oder so ähnlich.
Mir scheint dein Weg allerdings der günstigste zu sein. Immerhin hast du ja auch richtig gerechnet ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
> Dass ich nur eine Lösung heraus bekomme kann auch daran
> liegen, dass ich mit den Betragsstrichen der hessischen
> Normalen nicht ganz klar kam.
Ach, hier hast du das Problem ja schon richtig erkannt . Tipp: Betragsstriche weglassen und den Abstand -2 nehmen.
> Also es wäre ganz toll, wenn mir jemand helfen könnte.
dann wird das schon.
> Danke, danke, danke!
>
> LG
> Caro
MfG!
Disap
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Hallo Disap!
Erst einmal danke für deine ausführliche Lösung. Also ich habe jetzt t1 mal genau nachgeprüft und das müsste sogar soweit stimmen. Jetzt ist mein Problem, dass t2 nicht stimmt. Wenn ich für d=-2 einsetze kommt für t2=9/8 heraus, was nach ausführlicher Überprüfung definitiv falsch ist. Ist es denn möglich, dass nur 1 Punkt T existiert, was jedoch ein wenig widersprüchlich zur Aufgabenstellung wäre?!
Naja, deshalb bitte ich nochmals um eine kleine Hilfe.
Vielen, vielen Dank!
Caro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 So 23.04.2006 | | Autor: | Disap |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin.
> Hallo Disap!
> Erst einmal danke für deine ausführliche Lösung. Also ich
> habe jetzt t1 mal genau nachgeprüft und das müsste sogar
> soweit stimmen. Jetzt ist mein Problem, dass t2 nicht
> stimmt. Wenn ich für d=-2 einsetze kommt für t2=9/8 heraus,
> was nach ausführlicher Überprüfung definitiv falsch ist.
Das ist falsch, ja.
> Ist es denn möglich, dass nur 1 Punkt T existiert, was
> jedoch ein wenig widersprüchlich zur Aufgabenstellung
> wäre?!
Ne, das kann nicht sein. Mir ist kein Fall bekannt, bei dem das so wäre - wenn die Gerade die Ebene schneidet, gibt es immer zwei Punkte mit dem selben Abstand.
> Naja, deshalb bitte ich nochmals um eine kleine Hilfe.
Unsere Bedingung lautet
$ -2= \br{3(7-7t)+(-3+5t)+0.75(2-3t)-5.75}{\wurzel{3^2+1^2+0.75^2}} $
usw. Es gelten die Schritte aus meiner ersten Antwort.
$ -2= \br{3(7-7t)+(-3+5t)+0.75(2-3t)-5.75}{\wurzel{\br{169}{16}} $
$ -2= \br{3(7-7t)+(-3+5t)+0.75(2-3t)-5.75}{\br{13}{4}}//\cdot{}\br{13}{4} $
$ \br{-13}{2} = 3(7-7t)+(-3+5t)+0.75(2-3t)-5.75 $
$ \br{-13}{2} = \br{55 - 73t}{4} //\cdot{}4 $
$ -26 = 55 - 73t //-55 $
Bis hier hin hat sich so gut wie nichts geändert, nur das Vorzeichen, das liegt daran, dass wir immer nur multipliziert haben, daher hatten wir in der ersten Rechnung ein +26 und nun ein minus 26.
lösen wir die Gleichung nach t auf, so erhalte ich
$t_2 = \br{81}{73}$
Bitte Nachrechnen, manchmal neige ich zu Fehlern.
>
> Vielen, vielen Dank!
Du hast also irgendwo einen Flüchtigkeitsfehler gemacht.
Hauptsache ist aber, dass du das Prinzip verstanden hast.
>
> Caro
Viele Grüße
Disap
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 So 23.04.2006 | | Autor: | goeba |
Hallo,
wäre es nicht einfacher,
- zwei parallele Ebenen im Abstand zwei zu der Ausgangsebene aufzustellen
- die Schnittpunkte dieser Ebenen mit der Geraden zu berechnen?
Die Ebenen kann man fast im Kopf aufstellen (halt zweimal den normierten Normalenvektor zum Stützpunkt dazuaddieren, gleicher Normalenvektor), dan n zwei einfache lineare Gleichungssysteme.
Der andere Ansatz sieht ziemlich kompliziert aus 
Viele Grüße,
Andreas
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte der Geraden g mit der Ebene E(c;d) in Abhängigkeit von c und d!
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Zunächst: Danke, die erste müsste jetzt stimmen. Das hier ist eine weitere Aufgaben und es geht um die gleiche Ebene und die gleiche Gerade g.
Ich habe also wieder meine Gleichungen aufgestellt: x=7-7t, y= -3+5t und z=2-3t. Diese Werte habe ich dann in die Ebenengleichung eingesetzt und komme auf folgende Gleichung:
t= [mm] \bruch{-12+c-3d}{-16-3d}
[/mm]
das habe ich wiederum bei x=7-7t, y= -3+5t und z=2-3t eingesetzt und komme nun auf den Punkt
P ( [mm] \bruch{-28-7c}{-16-3d} [/mm] ; [mm] \bruch{-12+5c-6d}{-16-3d} [/mm] ; [mm] \bruch{4+3d-3c}{-16-3d}
[/mm]
Meine Frage ist nun, wie ich die Abhängigkeiten angebe. Also es ist klar, dass wenn d=5 [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ist, es keinen Schnittpunkt gibt. ich nehme an, dass c=-4 irgend eine Rolle spielt, aber so richtig komme ich nicht weiter.
Ein kleiner Tipp wäre demnach wahnsinnig toll.
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:15 Mo 24.04.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo CarolinchenBienchen
Auch von mir ein herzliches
> Untersuchen Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte der
> Geraden g mit der Ebene E(c;d) in Abhängigkeit von c und
> d!
>
> Zunächst: Danke, die erste müsste jetzt stimmen. Das hier
> ist eine weitere Aufgaben und es geht um die gleiche Ebene
> und die gleiche Gerade g.
>
> Ich habe also wieder meine Gleichungen aufgestellt: x=7-7t,
> y= -3+5t und z=2-3t. Diese Werte habe ich dann in die
> Ebenengleichung eingesetzt und komme auf folgende
> Gleichung:
>
> t= [mm]\bruch{-12+c-3d}{-16-3d}[/mm]
>
> das habe ich wiederum bei x=7-7t, y= -3+5t und z=2-3t
> eingesetzt und komme nun auf den Punkt
>
> P ( [mm]\bruch{-28-7c}{-16-3d}[/mm] ; [mm]\bruch{-12+5c-6d}{-16-3d}[/mm] ;
> [mm]\bruch{4+3d-3c}{-16-3d}[/mm]
>
> Meine Frage ist nun, wie ich die Abhängigkeiten angebe.
> Also es ist klar, dass wenn d=5 [mm]\bruch{1}{3}[/mm] ist, es keinen
> Schnittpunkt gibt. ich nehme an, dass c=-4 irgend eine
> Rolle spielt, aber so richtig komme ich nicht weiter.
Du hast ja folgende Gleichung herausbekommen:
[mm] (-16 - 3 d) t = -12 + c - 3d [/mm]
Wenn [mm] -16 - 3 d \not= 0 [/mm], darfst du dividieren und kommst auf den Schnittpunkt, den du genannt hast.
Wenn aber [mm] -16 - 3 d = 0 [/mm], darfst du nicht dividieren. Es gibt dann keinen gemeinsamen Punkt oder unendlich viele.
Wenn [mm] -16 - 3 d = 0 [/mm], ist die linke Seite der Gleichung 0, ganz egal was du für t einsetzt. Wenn jetzt die rechte Seite auch gleich 0 ist, gibt es unendlich viele Lösungen (die Gerade liegt in der Ebene). Ist die rechte Seite ungleich 0, gibt es keine Lösung.
Ich denke, jetzt findest du die Bedingungen.
Gruß
Sigrid
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> Ein kleiner Tipp wäre demnach wahnsinnig toll.
> Danke!
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