Abstand Punkt zu Gerade < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Di 03.05.2011 | | Autor: | JayKay |
| Aufgabe | | Bestimme den Abstand vom Punkt R(6/7/-3) zur Gerade [mm] g:x=\pmat{ 2 & 1 & 4}+r*\pmat{ 3&0&-2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wir sollen diese Aufgabe mit Mitteln der Analysis berechnen. Also als Extremwertaufgabe. Leider weiß ich nicht genau wie man damit anfängt. Also welchen Punkt muss ich gebrauchen um die Zielfunktion für die Abstandsgerade aufzustellen? Kann man da einfach den Stützvektor von g nehmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Di 03.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Bestimme den Abstand vom Punkt R(6/7/-3) zur Gerade
> [mm]g:x=\pmat{ 2 & 1 & 4}+r*\pmat{ 3&0&-2}[/mm]
> Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Wir sollen diese Aufgabe mit Mitteln der Analysis
> berechnen. Also als Extremwertaufgabe. Leider weiß ich
> nicht genau wie man damit anfängt. Also welchen Punkt muss
> ich gebrauchen um die Zielfunktion für die Abstandsgerade
> aufzustellen? Kann man da einfach den Stützvektor von g
Nein.
Ein beliebiger Punkt P der Geraden hat die Koordinaten (2+3r | 1 | 4+2r)
Der Abstand d zwischen P und R ist von r abhängig und hat die Form
[mm] d(r)=\wurzel{\mbox{Summe der Quadrate von den drei Koordinatendifferenzen}}
[/mm]
Die Größe d muss minimal werden. Allerdings ist der Wurzelterm eklig abzuleiten. Es reicht deshalb, den Term für [mm] d^2 [/mm] aufzustellen und das r zu ermitteln, bei dem [mm] d^2 [/mm] minimal wird.
Gruß Abakus
> nehmen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mi 04.05.2011 | | Autor: | JayKay |
Danke für die Antwort! Muss es denn dann nicht 4-2r heißen statt 4+2r?
Denn der Term sieht ja so aus:
$ [mm] g:x=\pmat{ 2 & 1 & 4}+r\cdot{}\pmat{ 3&0&-2} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo JayKay,
[willkomenmr] !!
Das hast Du richtig erkannt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mi 04.05.2011 | | Autor: | JayKay |
Ok, danke, aber ich glaube ich habe es immer noch nicht ganz verstanden. Wenn ich [mm] d=\wurzel{(2+3r)^2+1^2+(4-2r)^2} [/mm] ableite dann komme ich mit dem CAS auf das Ergebnis 0. Habe ich mich verrechnet?
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Hallo JayKay,
> Ok, danke, aber ich glaube ich habe es immer noch nicht
> ganz verstanden. Wenn ich [mm]d=\wurzel{(2+3r)^2+1^2+(4-2r)^2}[/mm]
> ableite dann komme ich mit dem CAS auf das Ergebnis 0. Habe
> ich mich verrechnet?
Hier hast doch nur den Abstand des Ursprungs von der Geraden g berechnet.
Berechnen musst du aber den Abstand des Punktes R zu Geraden g.
Berechne zunächst den Differenzvektor von einem beliebigen Punkt
auf der Geraden g zum Punkt R.
Dann berechnest Du den Betrag dieses Differenzvektors und minimierst diesen.
Gruss
MathePower
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