Abstand Punkt zu Gerade < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:37 Do 21.01.2010 | | Autor: | BlackSalad |
Hallo,
also ich hab hier eine Aufgabe bei der ich den ABstand zwischen einem Punkt und einer Geraden berechnen soll.
Nun wurde mir mehrfasch gesagt, dass ich dazu das Lot berechnen muss und dann den Abstand von dem Lotpunkt zum gegebenen Punkt berechnen muss.
Das finde ich aber total umständlich im Gegensatz zu einer einfachen Formel. Diese habe ich nämlich in einem Buch gefunden und finde es viel einfach mit der Formel. Allerdings sagen meine Mitschüler, dass es ohne den Lotfußpunkt zu berechnen nicht gehen würde. Deswegen wollte ich hier mal nachfragen, ob ich fürs Abitur den Lotfußpunkt berechnen muss, oder ob auch diese Formel ausreicht:
d= [mm] \bruch{|a1x(r2-r1|)}{|a1|}
[/mm]
Gibt es Aufgabentypen wo ich diese Formel nicht benutzen kann und das Lot berechnen muss?
Liebe Grüße und Danke fü eure Hilfe
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Hallo,
für Dein Post braucht man etwas Fantasie.
Ich hoffe ich hatte genug und habe mir richtig zusammengereimt, was Du mit Deiner Formel meinst...
Deine Formel ist die für die Abstandsberechnung von Punkt-Gerade in der Ebene. Sie fußt auf der HNF der Geradengleichung.
Und hiermit sind wir beim springenden Punkt: wenn wir im [mm] \IR^3 [/mm] sind, also im Raum, dann haben Geraden keine HNF, so daß sich der Versuch, das Problem über die HNF der Geradengleichung zu lösen, erübrigt.
Falls es sich bei Deiner Aufgabe also um ein dreidimensionales Problem handelt, haben Deine Klassenkameraden recht.
Das Abstandproblem Gerade-Punkt kann man hier lösen, indem man die zu g senkrechte Ebene durch P nimmt, ihren Schnitt mit g bestimmt. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Lotfußpunkt, dann den Abstand Punkt-Lotfußpunkt berechnen.
Hingegen gilt die von Dir gepostete Abstandsformel im Raum für den Abstand Punkt-Ebene. Denn die Ebenen haben im [mm] \IR^3 [/mm] eine HNF, welche zur Abstandberechnung gut taugt.
Gruß v. Angela
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Danke für die Antwort.
Woran erkenne ich denn ob es sich um einen 2D oder einen 3D-Raum handelt?
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> Danke für die Antwort.
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> Woran erkenne ich denn ob es sich um einen 2D oder einen
> 3D-Raum handelt?
Hallo,
daran, ob die Vektoren drei Etagen haben oder zwei.
Gruß v. Angela
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Aber in dem Buch aus der ich die Formel habe ist direkt unten drunter ein Beispiel mit 3 Stöckigen Vektoren.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Aber in dem Buch aus der ich die Formel habe ist direkt
> unten drunter ein Beispiel mit 3 Stöckigen Vektoren.
Meinst Du diese:
d= $ [mm] \bruch{|a1x(r2-r1|)}{|a1|} [/mm] $
Schreib die Formel mal so, wie sie im Buch steht und kläre, was [mm] a_1 [/mm] etc .. sein soll
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:14 Do 21.01.2010 | | Autor: | BlackSalad |
Hallo Fred,
ja genau so sieht die Formel aus.
dabei soll a1 der Richtungsvektor der Geraden sein und r2 der Punkt und r1 der Stützvektor der Geraden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:42 Sa 23.01.2010 | | Autor: | pi-roland |
Hallo,
es ist vielleicht etwas spät, aber ich hab eine ganz ähnliche Formel und auch deren Herleitung (die ich jetzt aber weglasse) gefunden.
Mit deinen Bezeichnungen lautet sie:
[mm] d=\vec r_1-\vec r_2 [/mm] + [mm] \frac{\vec a_1 \cdot (\vec r_2-\vec r_1)}{a_1^2}\cdot \vec{a_1}
[/mm]
Ich bin mir ziemlich sicher, dass diese Formel zu deiner vereinfacht werden kann, aber dazu hab ich jetzt erstmal keine Idee und keine Lust drüber nachzudenken. Wenn du die Herleitung haben möchtest, kann ich sie dir natürlich noch geben. Aber so wie ich dich verstanden habe, ist deine Formel aus einem Buch und da wird sicher keine falsche Formel drin stehen - so wie ich das auch von meinem Buch glaube.
Du hast mit einer Sache recht - man braucht keine Ebene. Die Herleitung funktioniert einfach über die Tatsache, dass das Lot (was hier gefällt werden muss) orthogonal zum Richtungsvektor der Gerade ist.
Hoffe, das beantwortet erstmal deine Frage.
Ansonsten viel Erfolg,
Roland.
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