Abstand Punkt Gerade < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 Mo 21.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
Hallo,
ich habe ein problem mit der gesamten aufgabe
z.B. soll ich den Flächeninhalt des dreiecks
A (7/7); B(11/9); C (3/8)
Berechnen.
Ich habe zuerst die Gerade AB aufgestellt mit
[mm] \vektor{7 \\ 7} [/mm] + t [mm] \vektor{4 \\ 2}
[/mm]
dann hab ich den richtungsvektor genommen und als Koordinatenform umgeschrieben, dazu C eingesetzt
4x1 + 2x2 + 28 = t
dann kommt für t = 56 raus
wenn ich dieses t dann oben wieder in die Gerade einsetzte kommen ja riesige zahlen raus - so weit wird der abstand ja niemal sein.
ebenso bei
A(2/1); B(5/4); C(-1/8)
die Gerade
[mm] \vektor{2\\ 1} [/mm] + t [mm] \vektor{3\\ 3}
[/mm]
Koordinatenfor
3x1 + 3x2 + 21 = t
--> t= 39
in die gerade eingesetzt bekomm ich dann für CF (Fußpunkt) [mm] \vektor{119 \\ 118}
[/mm]
wo liegt denn da das problem??
vielen dank!
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Hi, Sophy,
wenn ich schon dabei bin, ...
> ich habe ein problem mit der gesamten aufgabe
> z.B. soll ich den Flächeninhalt des dreiecks
> A (7/7); B(11/9); C (3/8)
> Berechnen.
> Ich habe zuerst die Gerade AB aufgestellt mit
> [mm]\vektor{7 \\ 7}[/mm] + t [mm]\vektor{4 \\ 2}
[/mm]
Naja: [mm] \vec{x} [/mm] fehlt halt!
>
> dann hab ich den richtungsvektor genommen und als
> Koordinatenform umgeschrieben, dazu C eingesetzt
>
> 4x1 + 2x2 + 28 = t
Wieder das blöde t. Das musst Du Dir abgewöhnen! Das hat in der Koordinatenform nichts zu suchen.
Also: Die Koordinatenform der Geraden h, die auf Deiner vorgegebenen Geraden g senkrecht steht und durch C geht, lautet:
[mm] 4x_{1}+2x_{2} [/mm] - 28 = 0
(Vergleiche auch meine Antwort bei Deiner anderen Frage!!!)
Jetzt setzt Du die Parameterform von g hier ein und kriegst:
4*(7+4t) + 2*(7+2t) - 28 = 0
28 + 16t + 14 + 4t - 28 = 0
t = -0,7
Somit ist der Lotfußpunkt von C auf die Seite AB, nennen wir ihn F:
F(4,2 / 5,6). (Bitte immer alles nachrechnen! Auf Rechenfehler geb' ich keine Garantie!)
Nun ist die Höhe h des Dreiecks gleich [mm] \overline{CF}, [/mm] also: [mm] h=1,2*\wurzel{5} [/mm] und die Fläche des Dreiecks:
[mm] F_{ABC} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*1,2*\wurzel{5}*\wurzel{16+4} [/mm] = 6
Bemerkung allgemeiner Art: Habt Ihr das immer so kompliziert gelöst?
Für die Fläche eines Dreiecks ABC gibt's doch eine viel einfachere Methode:
Berechne die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] und setze die Koordinaten in folgende Formel ein:
Fläche F = [mm] \bruch{1}{2}*|a_{1}b_{2} [/mm] - [mm] a_{2}b_{1}|,
[/mm]
wobei [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] die Kordinaten von [mm] \vec{a} [/mm] sind,
[mm] b_{1} [/mm] und [mm] b_{2} [/mm] die Kordinaten von [mm] \vec{b}.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Mo 21.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
hallo,
vielen dank für deine schnelle antwort.
wir rechnen gar nichts, das ist ja das schöne und so hab ich mcih am buch orientiert, die immer das "blöde" t mit sich rumziehen.
wir haben die andere methode nie erfahren - funktioniert die immer? ich hab immer gedacht, dass ich halt den Fußpunkt finden muß, zu dem dann die Höhe hc senkrecht draufsteht.
klappt deine rechnung also immer?
nochmal danke
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Hi, Sophy,
die Formel funktioniert nur im zweidimensionalen Raum.
Im [mm] R^{3} [/mm] brauchst Du das Kreuzprodukt der Kantenvektoren:
F = [mm] \bruch{1}{2}*|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:09 Mo 21.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
super - dann werd ich ihm das mal andrehen, dass wir das so rechnen, obwohl er sich weigert das kreuzprodukt durchzunehmen, da das angeblich nicht im lehrplan steht - auch wenn es so viel schneller ginge!
danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Di 22.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
guten morgen :))
ich hab in meiner formelsammlung gekramt und für das dreieck abdiese formel gefunden
A = 0,5 |[a1b2 - a2b1) + (b1c2 - b2c1) + (c1a2 - c2a1)|
und nicht wie nur mir gestern geschriebn hattest
A = 0,5 | a1b2 - a2b1|
ich bin verwirrt, denn ich hatte die aufgaben mit deiner formel gerechnet und die lösungen haben gestimmt.
welche formel soll ich denn jetzt nehmen? oder kommt es aufs gleiche raus?
zu 3d bitte noch ne frage:
wenn ich A = 0,5 |AB x AC| rechne, dann bekomm ich doch beim kreuzprodukt wieder einen vektor raus. wenn ich den mit 0,5 malnehme kommt doch dann keine fläche raus, sondern nur ein halb so langer vektor. was mach ich dann??
vielen dank, bis zur nächsten frage ;)
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Hi, Sophy,
> ich hab in meiner formelsammlung gekramt und für das
> dreieck abdiese formel gefunden
>
> A = 0,5 |[a1b2 - a2b1) + (b1c2 - b2c1) + (c1a2 - c2a1)|
> und nicht wie nur mir gestern geschriebn hattest
> A = 0,5 | a1b2 - a2b1|
>
> ich bin verwirrt, denn ich hatte die aufgaben mit deiner
> formel gerechnet und die lösungen haben gestimmt.
> welche formel soll ich denn jetzt nehmen? oder kommt es
> aufs gleiche raus?
Letzteres! Der Unterschied ist nur, dass Du bei "meiner" Formel erst die Kantenvektoren ausrechnest, während Du mit "Deiner" die 3 Punkte direkt einsetzt. Hat beides Vor- und Nachteile. Bei Deiner Formel ist die Gefahr eines Vorzeichenfehlers größer als bei meiner! Aber probier's ruhig aus: Es kommt mit beiden Formeln dasselbe raus!
>
> zu 3d bitte noch ne frage:
> wenn ich A = 0,5 |AB x AC| rechne, dann bekomm ich doch
> beim kreuzprodukt wieder einen vektor raus. wenn ich den
> mit 0,5 malnehme kommt doch dann keine fläche raus, sondern
> nur ein halb so langer vektor. was mach ich dann??
Da hast Du die Betragsstriche übersehen!
Zunächst rechnet man das Kreuzprodukt aus und dann nimmt man
den BETRAG dieses Vektors!
(Vergiss aber auch den Faktor 0,5 nicht!)
Alles klar?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:18 Di 22.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
hallo,
also das erste ist mir jetzt klar und da ich mit den vorzeichen sowieso schusslig bin werd ich dann deine formel nehmen.
aber das zweite ist mir noch nicht so ganz klar: den betrag hab ich genommen --> also ist das das mit [mm] \wurzel[2]{a² + b² + c²} [/mm] und dann mal 0,5??
oder was ausgefuchsteres??
vielen dank dir!!
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Hi, Sophy,
schon richtig; da steckt "nix Ausgefuchstes" dahinter!
Beträge von Vektoren werden immer so ausgerechnet!
Mach doch einfach mal folgendes Beispiel:
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit den Eckpunkten:
A(1;3;4), B(5;0;2) und C(2;1;8).
(Ergebnis: [mm] F=\bruch{11}{2}*\wurzel{5} \approx [/mm] 12,3)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Di 22.03.2005 | | Autor: | sophyyy |
ja vielen dank, das paßt jetzt
aber mir tun sich ja immer neue abgründe auf :))
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