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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Mo 13.08.2007 | | Autor: | haiducii |
| Aufgabe | Gegeben sind die Ebene E: [mm] x_1+3x_2-2x_3=0 [/mm] und die Punkte A(0/2/0) und B(5/-1/-2).
a) Zeigen Sie, dass die Gerade durch A und B parallel zur Ebene E ist.
b) Bestimmen Sie den Abstand der Punkte der Geraden durch A und B zur Ebene E. |
Hallo!
Hab ein paar Probleme mit der Aufgabe.
Bei a) habe ich bereits den Vektor AB=(5/-3/-2) und den Normalenvektor n=(1/3/-2) und das Skalarprodukt berechnet.
Da dies 0 ergibt, lässt sich die Parallelität feststellen. Jedoch muss man da doch noch was machen, um dies nachzuweisen.
Zu b): Wie berechne ich den Abstand?
Ich danke euch bereits für eure Hilfe.
Bis dann,
Haiducii
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> Gegeben sind die Ebene E: [mm]x_1+3x_2-2x_3=0[/mm] und die Punkte
> A(0/2/0) und B(5/-1/-2).
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> a) Zeigen Sie, dass die Gerade durch A und B parallel zur
> Ebene E ist.
>
> b) Bestimmen Sie den Abstand der Punkte der Geraden durch
> A und B zur Ebene E.
> Hallo!
>
> Hab ein paar Probleme mit der Aufgabe.
>
> Bei a) habe ich bereits den Vektor AB=(5/-3/-2) und den
> Normalenvektor n=(1/3/-2) und das Skalarprodukt berechnet.
> Da dies 0 ergibt, lässt sich die Parallelität feststellen.
> Jedoch muss man da doch noch was machen, um dies
> nachzuweisen.
Hallo,
nein, da muß man nichts mehr machen.
Wenn die Gerade senkrecht zum Normalenvektor der Ebene ist, ist sie parallel zur Ebene.
>
> Zu b): Wie berechne ich den Abstand?
Da die Gerade parallel zur Ebene ist, haben alle Punkte der Geraden denselben Abstand zur Ebene.
Du kannst also den Abstand von A zur Ebene berechnen,
z.B. indem Du erechnest, wo der Schnittpunkt der Geraden, die durch A verläuft und senkrecht zur Ebene ist, die Ebene schneidet.
Dann berechnest Du den Abstand zwischen A und dem Fußpunkt.
Oder (eleganter!) Du berechnest die Länge der Projektion von [mm] \overrightarrow{0A} [/mm] auf den Normalenvektor der Ebene, indem Du [mm] \bruch{\vec{n}}{|\vec{n}|}*\overrightarrow{0A} [/mm] berechnest. Da die Ebene durch den Ursprung geht, hast Du damit den Abstand des Punktes A zur Ebene.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:22 Mo 13.08.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo haiducii!
Bei Aufgabe a.) könnte man höchstens einen der beiden gegebenen Punkte in die Ebenengleichung einsetzen, um zu zeigen, dass die Gerade [mm] $g_{AB}$ [/mm] auch echt parellel ist und nicht in der Ebene liegt.
Für Aufgabe b.) mal folgenden Link zu Verdeutlichung und Unterstützung von Angela's Antwort: ![[]](/images/popup.gif) Abstand Ebene - Punkt.
Gruß
Loddar
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