Abstand Punkt-Gerade < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:51 Mi 23.01.2008 | | Autor: | ingobar |
Ich kann dabei die erste Zeile nicht nachvollziehen und damit auch den Rest nicht. Außerdem klappt die Formel bei meinem Beispiel nicht.
Kann mir jemand sagen, wie die auf die Formel
[mm] t=\bruch{(\vec{q}-\vec{p})*\vec{u}}{|\vec{u}|^2}
[/mm]
kommen?
Und wie kommen die dann bitte auf die Formel für d:
[mm] d=\bruch{|(\vec{q}-\vec{p})|\times\vec{u}}{|\vec{u}|}
[/mm]
Wo ist das Quadrat im Nenner? Und warum ist da auf einmal ein Kreuzprodukt drin?
Ich habe dann erst einmal ein Beispiel mit dem Punkt (2|-3|5) und einer Geraden mit Stützpunkt (2|2|4) und Richtungsvektor (3|1|-1) versucht. Bekomme aber
[mm] \bruch{1}{11}* \wurzel{250} [/mm] statt [mm] \bruch{1}{11}* \wurzel{2750} [/mm] heraus. Das Kreuzprodukt sieht bei mir so aus:
[mm] \vektor{0 \\ -5 \\ 1} \times \vektor{3 \\ 1 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 3 \\ 15}
[/mm]
Kann mir da draußen jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Mi 23.01.2008 | | Autor: | weduwe |
> Und zwar geht es um die folgende Herleitung:
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> ![[]](/images/popup.gif) Mathematik-Online
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> Ich kann dabei die erste Zeile nicht nachvollziehen und
> damit auch den Rest nicht. Außerdem klappt die Formel bei
> meinem Beispiel nicht.
>
> Kann mir jemand sagen, wie die auf die Formel
>
> [mm]t=\bruch{(\vec{q}-\vec{p})*\vec{u}}{|\vec{u}|^2}[/mm]
>
> kommen?
>
> Und wie kommen die dann bitte auf die Formel für d:
>
> [mm]d=\bruch{|(\vec{q}-\vec{p})|\times\vec{u}}{|\vec{u}|}[/mm]
>
> Wo ist das Quadrat im Nenner? Und warum ist da auf einmal
> ein Kreuzprodukt drin?
>
> Ich habe dann erst einmal ein Beispiel mit dem Punkt
> (2|-3|5) und einer Geraden mit Stützpunkt (2|2|4) und
> Richtungsvektor (3|1|-1) versucht. Bekomme aber
> [mm]\bruch{1}{11}* \wurzel{250}[/mm] statt [mm]\bruch{1}{11}* \wurzel{2750}[/mm]
> heraus. Das Kreuzprodukt sieht bei mir so aus:
>
> [mm]\vektor{0 \\ -5 \\ 1} \times \vektor{3 \\ 1 \\ -1}[/mm] =
> [mm]\vektor{4 \\ 3 \\ 15}[/mm]
>
> Kann mir da draußen jemand helfen?
zur 1. zeile:
das geht über das skalarprodukt, du projizierst den [mm] vektor(\vec{p}-\vec{q}) [/mm] auf den richtungsvektor der geraden [mm] \vec{u}
[/mm]
[mm] cos\alpha=\frac{(\vec{p}-\vec{q})\cdot\vec{u}}{|\vec{p}-\vec{q}|\cdot|\vec{u}|}, [/mm] daher [mm] |\vec{p}-\vec{q}|\cdot cos\alpha=\frac{(\vec{p}-\vec{q})\cdot\vec{u}}{|\vec{u}|}, [/mm] das ist der betrag des projizierten vektors, jetzt soll er noch in richtung [mm] \vec{u} [/mm] schauen, daher mußt du mit dem einheitsvektor in diese richtung [mm] \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} [/mm] multiplizieren.
wozu man das allerdings für die abstandsberechnung brauchen soll, ist mir schleierhaft.
der betrag des vektorprodukts ist ja die fläche des von den beiden vektoren [mm] (\vec{p}-\vec{q}) [/mm] und [mm] \vec{u} [/mm] aufgespannten parallelogramms, also [mm]A=|(\vec{p}-\vec{q})\times\vec{u}|[/mm].
andererseits gilt für dessen fläche A = grundlinie g = [mm] |\vec{u}| [/mm] mal der dazu senkrechten höhe d: [mm]A = g\cdot h\to d=\frac{A}{g}[/mm]
einsetzen und du bist dort.
meiner ansicht nach stimmt auch die grafik nicht (fläche des rechtecks statt des parallelogramms)
und richtig ist -vermute ich:
[mm] d=\sqrt{\frac{250}{11}} [/mm] was d [mm] =\sqrt{\frac{2750}{11\cdot 11}} [/mm] entspricht.
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