Abstand Punkt-Gerade < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:45 Fr 12.10.2007 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Der Abstand soll bestimmt werden zwischen der Geraden:
g: [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+\mu*\vektor{-3 \\ 2 \\ 4} [/mm] und dem Punkt [mm] A=\vektor{-2 \\ 3 \\ -5} [/mm] |
Ich habe den Abstand d= 7.67 errechnet, ist das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:18 Fr 12.10.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Eugen!
> Ich habe den
> Abstand d= 7.67 errechnet, ist das richtig?
Ja, das hab ich auch!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Fr 12.10.2007 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Der Abstand soll bestimmt werden zwischen der Geraden:
g: $ [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+\mu\cdot{}\vektor{-3 \\ 2 \\ 4} [/mm] $ und dem Punkt $ [mm] A=\vektor{-2 \\ 3 \\ -5} [/mm] $ |
Das ist schon mal gut, dass ich das richtige Ergebnis habe. Nun würde ich gerne noch verstehen, aus welchem Grund man das folgendermaßen rechnen muss:
[mm] \vec{x}* \vektor{-3 \\ 2 \\ 4} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 3 \\ 5}*\vektor{-3 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
= [mm] -3*x_{1}+2*x_{2}+4*x_{3}=-8
[/mm]
Der linke Teil sagt aus, dass ich eine Ebene habe, dessen Normalenvektor dem Richtungsvektor meiner Geraden entspricht. Da der Richtungsvektor durch den Punkt A geht, muss nun logischerweise auch der Normalenvektor durch A gehen, und da der Normalenvektor orthogonal zur Ebene ist, habe ich den kürzesten Abstand zu A. Aber warum kann ich das mit dem rechten Teil der Gleichung gleichsetzen? Der rechte Teil ist das Produkt aus dem Ortsvektor A und dem Richtungsvektor der Geraden. Was für eine Logik steckt dahinter? Wie kann man sich das graphisch vorstellen? Ich habe eine Gerade mit einer bestimmten Richtung und ich habe eine Ebene mit der gleichen Richtung. Ist es nun so, dass die Ebene auf der Geraden sitz und von der Geraden "durchbohrt" wird und dem Richtungsvektor alias Normalenvektor der Ebene folgt? Brauche Rat, möchte die Logik dieses Lösungsweges verstehen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Fr 12.10.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> Der Abstand soll bestimmt werden zwischen der Geraden:
> g: [mm]\vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+\mu\cdot{}\vektor{-3 \\ 2 \\ 4}[/mm]
> und dem Punkt [mm]A=\vektor{-2 \\ 3 \\ -5}[/mm]
> Das ist schon mal
> gut, dass ich das richtige Ergebnis habe. Nun würde ich
> gerne noch verstehen, aus welchem Grund man das
> folgendermaßen rechnen muss:
> [mm]\vec{x}* \vektor{-3 \\ 2 \\ 4}[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 3 \\ 5}*\vektor{-3 \\ 2 \\ 4}[/mm]
>
> = [mm]-3*x_{1}+2*x_{2}+4*x_{3}=-8[/mm]
> Der linke Teil sagt aus, dass ich eine Ebene habe, deren
> Normalenvektor dem Richtungsvektor meiner Geraden
> entspricht.
D. h. diese Ebene steht senkrecht auf der gegebenen Geraden.
> Der
> rechte Teil ist das Produkt aus dem Ortsvektor A und dem
> Richtungsvektor der Geraden.
Der rechte Teil ist ja eine Zahl und besagt, daß A die Gleichung erfüllt, daß A also ein Punkt der Ebene ist oder die Ebene durch A geht.
Das muß für heute reichen, ich muß zum Zug und gucken, ob er fährt.
Ciao
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Fr 12.10.2007 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Aufgabe
Der Abstand soll bestimmt werden zwischen der Geraden:
g: $ [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+\mu\cdot{}\vektor{-3 \\ 2 \\ 4} [/mm] $ und dem Punkt $ [mm] A=\vektor{-2 \\ 3 \\ -5} [/mm] $ |
Mir ist aber immer noch nicht ganz klar, wie man darauf kommen kann, dass das Produkt aus dem Ortsvektor des Punktes und dem Richtungsvektor der Geraden beweist, dass A in der Ebene liegt. Wenn ich mir das bildlich vorstelle, dann habe ich ja eine Gerade, die eine Ebene durchstößt. Wenn der Punkt in der Ebene liegt, und von der Geraden berührt wird, dann habe ich ja keinen Abstand zwischen Punkt und Gerade. Wie kann man sich das erklären, dass es dieses besagte Produkt sein muss, und was sagt dann die Zahl -8 aus? Ich rechne ja den Betrag und somit die Länge aus. Was bedeutet denn in diesem Fall die Länge 8 und welche Rolle spielt sie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Fr 12.10.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
kennst du die allgemeine Form der Normalenform?
Die sieht so aus: [mm] $\vec{n}\*\vec{x}-\vec{n}\*\vec{a}=0$ [/mm] (Diese Form solltest du eigentlich kennen).
Nun, die Logik ist nun diese: Du konstruierst dir eine Ebene, die senkrecht auf der Geraden steht (also den Richtungsvektor der Gerade nals Normalenvektor hat), und der Punkt A soll in der Ebene liegen, also ist der Vektor [mm] $\vec{a}$ [/mm] gleich dem Punkt A (salopp formuliert).
Nun, damit dam so ist, muss eben [mm] $\vec{a}$ [/mm] die Koord. von A haben.
Deine Rechnung geht nun so: Stelle [mm] $\vec{n}\*\vec{a}$ [/mm] auf die andere Seite, und du hast dann genau deinen Lösungsansatz. Verstehst du jetzt, warum du das "vermeintlich" gleichsetzt?
Okay, dann hast du eine Ebene, die senkrecht zur Geraden g ist, die den Punkt A beinhaltet. Dann kannst du den Schnittpunkt Ebene Gerade bestimmen und dann die LÄnge des Verbindungsvektors Schnittpunkt und A.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Fr 12.10.2007 | | Autor: | Owen |
Jetzt habe ich die Logik verstanden, vielen Dank 
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