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| Aufgabe | (a) Zeigen Sie, dass durch das Gleichungssystem
2x1-x2-3x3=-4
-x1+3x2+4x3=7
eine Gerade g in R³ beschrieben wird, die durch P(1,0,2) verläuft.
(b) Geben Sie eine Darstellung für die Ebene E an, die P enthält und orthogonal zu g ist.
(c) Welchen Abstand hat der Koordinatenursprung von der Ebene E? |
Hallo!
Aufgabe (a) habe ich gelöst, indem ich die erste Gleichung zum zweifachen der zweiten Gleichung addiert habe:
5x2+5x3=10 /:5
x2+x3=2 setze x3=t ---> x2=2-t, x1=t-1
g = [mm] \pmat{ -1 \\ 2 \\ 0 }+t \pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 2 } [/mm] für t=2
(b) Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt=0 ist....wir suchen also zwei Vektoren, für die 1*x-1*y+1*z=0 gilt und erhalten
E= [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 2 }+s \pmat{ 1 \\ 1 \\ 0 }+t \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
Stimmt das bisher so?
Aber wie berechne ich denn den Abstand der Ebene vom P (0,0,0)?
Gruß, Jenny
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Hallo Jenny,
> (a) Zeigen Sie, dass durch das Gleichungssystem
> 2x1-x2-3x3=-4
> -x1+3x2+4x3=7
> eine Gerade g in R³ beschrieben wird, die durch P(1,0,2)
> verläuft.
> (b) Geben Sie eine Darstellung für die Ebene E an, die P
> enthält und orthogonal zu g ist.
> (c) Welchen Abstand hat der Koordinatenursprung von der
> Ebene E?
Verwende doch bitte den Formeleditor oder schreibe direkt x_1 etc, um [mm] x_1 [/mm] zu erhalten. Ebenso bei \IR^3 für [mm] \IR^3.
[/mm]
So ist die Darstellung schlecht lesbar, und die ASCII-Hochzahlen werden zudem im Editor (also in Formeln) gar nicht angezeigt.
> Hallo!
> Aufgabe (a) habe ich gelöst, indem ich die erste
> Gleichung zum zweifachen der zweiten Gleichung addiert
> habe:
> 5x2+5x3=10 /:5
> x2+x3=2 setze x3=t ---> x2=2-t, x1=t-1
>
> g = [mm]\pmat{ -1 \\
2 \\
0 }+t \pmat{ 1 \\
-1 \\
1 }[/mm] = [mm]\pmat{ 1 \\
0 \\
2 }[/mm]
Fast korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Überflüssig ist der Vektor auf der rechten Seite. Du willst ja erst einmal nur die Geradengleichung angeben.
Erst dann setzt Du so ein wie oben, um t zu ermitteln.
> für t=2
Auch richtig.
> (b) Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn das
> Skalarprodukt=0 ist....wir suchen also zwei Vektoren, für
> die 1*x-1*y+1*z=0 gilt und erhalten
>
> E= [mm]\pmat{ 1 \\
0 \\
2 }+s \pmat{ 1 \\
1 \\
0 }+t \pmat{ 0 \\
1 \\
1 }[/mm]
>
> Stimmt das bisher so?
Ja, auch gut.
> Aber wie berechne ich denn den Abstand der Ebene vom P
> (0,0,0)?
Dazu hättest Du gar keine zwei Richtungsvektoren ermitteln müssen. Verwende den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor der Ebene und bringe diese in die Hessesche Normal(en)form:
[mm] \vec{n}*\vec{x}-d=0
[/mm]
Wenn |vec{n}|=1 ist (uns so sollte es dann ja sein), dann ist |d| gerade der Abstand der Ebene vom Ursprung.
Grüße
reverend
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