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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Sa 20.02.2010 | | Autor: | MatheHH |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Abstand der Kurve w(t) = [mm] \vektor{t \\ sin(t)\\0} \in \IR [/mm] von der Fläche z = [mm] 2+(x-1)^2+y^2,x,y \in \IR [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bei der Berechnung des minimalen Abstandes muss ich doch normalerweise die Lagrange Funktion aufstellen und diese mit dem Newton Verfahren minimieren. Allerdings ist meine Kurve ja von t abhängig und meine Fläche von x und y. Daher funktioniert dieses Verfahren hier leider nicht.
Würde mich freuen wenn ihr mir nen Tipp für nen anderen Ansatz geben könntet.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Sa 20.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie den Abstand der Kurve w(t) = [mm]\vektor{t \\ sin(t)\\0} \in \IR[/mm]
> von der Fläche z = [mm]2+(x-1)^2+y^2,x,y \in \IR[/mm]
> Ich habe
> diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
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> Bei der Berechnung des minimalen Abstandes muss ich doch
> normalerweise die Lagrange Funktion aufstellen und diese
> mit dem Newton Verfahren minimieren. Allerdings ist meine
> Kurve ja von t abhängig und meine Fläche von x und y.
> Daher funktioniert dieses Verfahren hier leider nicht.
> Würde mich freuen wenn ihr mir nen Tipp für nen anderen
> Ansatz geben könntet.
Hallo,
mimm mal an, du hast einen Kurvenpunkt P und einen Flächenpunkt Q mit minimalem Abstand gefunden.
PQ steht dann sekrecht auf der Fläche (welche rotationssymmetrisch ist) und verläuft somit durch deren Symmetrieachse. Denke dir weiterhin eine Ebene, die durch P, Q und den Fußpunkt Q' der Lotes von Q auf die x-y-Ebene ist.
Eine Tangente der Kurve im Punkt P steht dann senkrecht auf dieser Ebene.
Vielleicht hilft das weiter.
Gruß Abakus
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> Berechnen Sie den Abstand der Kurve w(t) = [mm]\vektor{t \\ sin(t)\\0} \in \IR[/mm]
> von der Fläche z = [mm]2+(x-1)^2+y^2,x,y \in \IR[/mm]
> Ich habe
> diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten
> gestellt.
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> Bei der Berechnung des minimalen Abstandes muss ich doch
> normalerweise die Lagrange Funktion aufstellen und diese
> mit dem Newton Verfahren minimieren. Allerdings ist meine
> Kurve ja von t abhängig und meine Fläche von x und y.
> Daher funktioniert dieses Verfahren hier leider nicht.
> Würde mich freuen wenn ihr mir nen Tipp für nen anderen
> Ansatz geben könntet.
Hallo MatheHH,
es gibt natürlich folgenden einfachen Ansatz:
Stelle den Abstand d eines Kurvenpunktes P und eines
Flächenpunktes Q, oder besser gerade das Quadrat [mm] S=d^2
[/mm]
dieses Abstandes als Funktion der 3 Parameter t (für P),
x und y (für Q) dar. An einer Stelle (t,x,y) mit minimalem
Wert von S (und damit auch d) müssen die partiellen
Ableitungen [mm] \frac{\partial S}{\partial t} [/mm] , [mm] \frac{\partial S}{\partial x} [/mm] und [mm] \frac{\partial S}{\partial y} [/mm] allesamt verschwinden.
Das entstehende Gleichungssystem könnte allenfalls
tückisch werden - doch vermute ich, dass man damit
wohl im Endeffekt auf dieselbe(n) Gleichung(en) stoßen
müsste wie nach dem mehr geometrischen Ansatz, den
Abakus vorschlägt.
LG Al-Chw.
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