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Hallo!
Wir haben als Hausaufgabe folgende Aufgabe bekommen:
Eine Gerade geht durch P1 (-2/-1) und P2 (1/8). Wie weit ist P3 (1/13) von ihr entfernt?
Die Geradengleichung habe ich schon ausgerechnet:
g= [mm] \pmat{ -2 \\ -1 } [/mm] + [mm] \lambda \pmat{ 3 \\ 9 }
[/mm]
Jetzt muss ich doch den Normalenvektor ausrechnen und die Gleichung in die HNF überführen, um d und dann den Abstand zu berechnen, oder? Und da komm ich nicht weiter...
Danke für eure Hilfe!
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Hallo Heidschnucke,
> Hallo!
> Wir haben als Hausaufgabe folgende Aufgabe bekommen:
> Eine Gerade geht durch P1 (-2/-1) und P2 (1/8). Wie weit
> ist P3 (1/13) von ihr entfernt?
> Die Geradengleichung habe ich schon ausgerechnet:
> g= [mm]\pmat{ -2 \\ -1 }[/mm] + [mm]\lambda \pmat{ 3 \\ 9 }[/mm]
> Jetzt
> muss ich doch den Normalenvektor ausrechnen und die
> Gleichung in die HNF überführen, um d und dann den Abstand
> zu berechnen, oder? Und da komm ich nicht weiter...
> Danke für eure Hilfe!
du weißt das der kürzeste Abstand immer das Lot ist. In diesem Fall ist es das Lot von einem Punkt [mm]P_{3}[/mm] auf die Gerade g. Das heisst der Vektor des Lotes muß senkrecht auf dem Richungsvektor der Geraden stehen.
Also:
[mm]\;=\;0[/mm]
Unter <,> ist das Standardskalarprodukt zu verstehen.
Diese Gleichung löst Du nach [mm]\lambda[/mm] auf.
Der Betrag des Vektors [mm]P_{3}\;-\;\pmat{ -2 \\ -1 }\;-\;\lambda \pmat{ 3 \\ 9}[/mm] gibt dann den gesuchten Abstand an.
Gruß
MathePower
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Hallo Mathepower!
Danke für deine Antwort, aber ich hab doch noch einige Fragen... =)
> du weißt das der kürzeste Abstand immer das Lot ist. In
> diesem Fall ist es das Lot von einem Punkt [mm]P_{3}[/mm] auf die
> Gerade g. Das heisst der Vektor des Lotes muß senkrecht auf
> dem Richungsvektor der Geraden stehen.
Diesen Teil versteh ich ja noch. Aber wie kommst du eigentlich dann auf die nächste Gleichung? Und wieso ist da ein Sklalarprodukt drin?
> Also:
>
> [mm]\;=\;0[/mm]
>
> Unter <,> ist das Standardskalarprodukt zu verstehen.
> Diese Gleichung löst Du nach [mm]\lambda[/mm] auf.
Hab ich gemacht, bzw. versucht, aber weiter komm ich nicht, ich muss doch statt [mm] \pmat{ 3 \\ 14 } [/mm] einen konkreten Wert haben, oder?
[mm] \pmat{ 3 \\ 14 } [/mm] - 90 [mm] \lambda [/mm] = 0
> Der Betrag des Vektors [mm]P_{3}\;-\;\pmat{ -2 \\ -1 }\;-\;\lambda \pmat{ 3 \\ 9}[/mm]
> gibt dann den gesuchten Abstand an.
Muss ich dann hier für [mm] \lambda [/mm] einen konkreten Wert einsetzen, den ich vorher ausgerechnet habe?
Tschuldigung für die vielen Fragen, aber irgendwie hab ich den Durchblick verloren (falls er vorher schon mal da war =).
Danke für deine Hilfe!!
Gruß
Heidschnucke
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Hallo Heidschnucke,
> Hallo Mathepower!
> Danke für deine Antwort, aber ich hab doch noch einige
> Fragen... =)
>
> > du weißt das der kürzeste Abstand immer das Lot ist. In
> > diesem Fall ist es das Lot von einem Punkt [mm]P_{3}[/mm] auf die
> > Gerade g. Das heisst der Vektor des Lotes muß senkrecht auf
> > dem Richungsvektor der Geraden stehen.
> Diesen Teil versteh ich ja noch. Aber wie kommst du
> eigentlich dann auf die nächste Gleichung? Und wieso ist da
> ein Sklalarprodukt drin?
Aufgrund der Orthogonalität.
>
> > Also:
> >
> > [mm]\;=\;0[/mm]
Zeichne die Gerade g auf ein Blatt Papier. Ebenso den Punkt [mm]P_{3}[/mm]. Verbinde den Anfangspunkt A der Geraden g mit dem Punkt [mm]P_{3}[/mm]. Fälle nun das Lot von [mm]P_{3}[/mm] auf die Gerade g. Man erhält einen neuen Punkt B[mm]\pmat{ -2 \\ -1 }\;+\;\lambda \pmat{ 3 \\ 9}[/mm], der auf der Geraden liegt.
Nun muss es ein [mm]\lambda[/mm] geben, für das der Vektor [mm]P_{3}\;-\;\pmat{ -2 \\ -1 }\;-\;\lambda \pmat{ 3 \\ 9}[/mm] senkrecht auf dem Vektor[mm]\pmat{ 3 \\ 9}[/mm] steht.
>
> >
> > Unter <,> ist das Standardskalarprodukt zu verstehen.
>
> > Diese Gleichung löst Du nach [mm]\lambda[/mm] auf.
> Hab ich gemacht, bzw. versucht, aber weiter komm ich
> nicht, ich muss doch statt [mm]\pmat{ 3 \\ 14 }[/mm] einen
> konkreten Wert haben, oder?
> [mm]\pmat{ 3 \\ 14 }[/mm] - 90 [mm]\lambda[/mm] = 0
>
> > Der Betrag des Vektors [mm]P_{3}\;-\;\pmat{ -2 \\ -1 }\;-\;\lambda \pmat{ 3 \\ 9}[/mm]
Du mußt schon das ganze Skalarprodukt ausmultiplizieren:
[mm]
\begin{gathered}
< \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
{14} \\
\end{array} } \right)\; - \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 2} \\
{ - 1} \\
\end{array} } \right)\; - \;\lambda \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
9 \\
\end{array} } \right),\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
9 \\
\end{array} } \right)\; > \; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \; < \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
{14} \\
\end{array} } \right)\; - \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{ - 2} \\
{ - 1} \\
\end{array} } \right),\;\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
9 \\
\end{array} } \right)\; > \; - \;\lambda < \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
9 \\
\end{array} } \right),\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
9 \\
\end{array} } \right)\; > \; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \; < \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
5 \\
{15} \\
\end{array} } \right)\;,\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
9 \\
\end{array} } \right)\; > \; - \;\lambda < \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
9 \\
\end{array} } \right),\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
9 \\
\end{array} } \right)\; > \; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
> > gibt dann den gesuchten Abstand an.
> Muss ich dann hier für [mm]\lambda[/mm] einen konkreten Wert
> einsetzen, den ich vorher ausgerechnet habe?
Ja.
Gruß
MathePower
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