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Abstand Gerade Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:43 So 19.11.2006
Autor: JR87

Aufgabe
Berechen Sie den Abstand zwischen der Gerade g und der Ebene [mm] \varepsilon [/mm]

g: [mm] \overrightarrow{x} [/mm] = [mm] \vektor{5 \\ -8 \\ -2} [/mm] + [mm] s\vektor{3 \\ 2 \\ -4} [/mm]

[mm] \varepsilon: [/mm] -4x+8y+z = -5

Hallo,
mir ist das gleich noch eine Frage aufgekommen. Ich soll den Abstand zwischen der Gerade und der Ebene herausfinden. Beide sind auf jeden Fall schonmal parallel. Somit könnte ich ja jeden beliebigen Punkt auf g nehmen. Irgendwie muss das mit der Hesse'schen Normalform funktionieren. Ich bin mir nur unsicher wie?!?!

        
Bezug
Abstand Gerade Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:57 So 19.11.2006
Autor: Riley

HI,
genau, dass die Gerade und die Ebene parallel sind, kannst du z.B. daran sehen, dass das Skalarprodukt von Normalenvektor der Ebene mit Richtungsvektor der Geraden Null ergibt.

Am besten du stellst die Hesse-Normalform der Ebene auf, dann kannst du den Stützvektor der Geraden einsetzen, Betrag davon nehmen und bekommst den abstand.

viele grüße
riley

Bezug
                
Bezug
Abstand Gerade Ebene: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 So 19.11.2006
Autor: JR87

Also Meine HNF ist ja [mm] \bruch{1}{9} [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 8 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{x-2 \\ y-1 \\ z+5} [/mm] = 0

Eingesetzt dann [mm] \bruch{1}{9} [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 8 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{3 \\ -9 \\ 3} [/mm] = 0

Dann komme ich auf [mm] 1\bruch{1}{3}+ [/mm] 8 + [mm] \bruch{1}{3} [/mm]

Wäre der Abstand [mm] 9\bruch{2}{3} [/mm] LE.

Stimmt das?

Bezug
                        
Bezug
Abstand Gerade Ebene: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:39 So 19.11.2006
Autor: Riley

HI,

wie kommst du auf diese HNF?

die Normalform der Ebene ist doch:
[mm] \vektor{-4 \\ 8 \\ 1} \vektor{x \\ y\\z} [/mm] + 5 = 0.

auf die HNF kommst du, wenn du die Gleichung durch die Länge des Normalenvektors [mm] \vektor{-4 \\ 8 \\ 1} [/mm]  teilst.

viele grüße
riley

Bezug
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