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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:06 Mi 21.06.2006 | | Autor: | ttgirltt |
| Aufgabe | | Finden Sie auf dem Schnitt des Zylinders {(x,y,z) [mm] \in \IR^{3}|x^{2}+y^{2}=1 [/mm] } mit der Ebene {(x,y,z) [mm] \in \IR^{3}|x=z [/mm] } die Punkte minimalen und maximalen Abstands vom Ursprung. |
Hi! Man muss doch die beiden erst einmal gleichsetzen um den Schnitt zu ermitteln oder? Da bekomm ich doch das [mm] z^{2}+y^{2} [/mm] ebenfalls eins ist.
Aber vllt muss man das ja gar nicht. Nun sagte man uns ihr müsst die Abstandsgleichung dazu kennen um das zu lösen und dann wäre es ganz einfach(da man noch nicht mal Ableitungen bestimmen muss) welche Formel meint man
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Das Quadrat des Abstandes [mm]d[/mm] eines Punktes [mm](x,y,z)[/mm] vom Ursprung ist [mm]d^2 = x^2+y^2+z^2[/mm]. Und das ist zu maximieren bzw. minimieren. Da ja [mm]x^2 + y^2 = 1[/mm] gelten soll, heißt das [mm]d^2 = 1 + z^2[/mm] oder wegen [mm]x = z[/mm] auch
[mm]d^2 = 1 + x^2[/mm]
Aufgrund der Gleichung [mm]x^2 + y^2 = 1[/mm] kann [mm]x^2[/mm] aber nur in einem gewissen Intervall schwanken. Was ist also der größtmögliche bzw. kleinstmögliche Wert für [mm]x^2[/mm]? Und den eingesetzt, erhält man auch den größtmöglichen bzw. kleinstmöglichen Wert für [mm]d^2[/mm] und somit auch für [mm]d[/mm]. Die zu den gefundenen [mm]x[/mm]-Koordinaten gehörigen [mm]y[/mm]- und [mm]z[/mm]- Koordinaten kann man dann mittels [mm]x^2 + y^2 = 1[/mm] und [mm]x = z[/mm] berechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Do 22.06.2006 | | Autor: | ttgirltt |
Also ist es so das [mm] x^{2}=[0,1] [/mm] also für minimalen Abstand ist x=0 z=0 y=1 oder y=-1 also der minimale Astand ist 1. Bei maximalen ist x=1 oder x=-1 x=z und y wäre dann 0 dann wäre der maximale Abstand [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Seh ich das so richtig
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