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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:00 Mi 02.03.2005 | | Autor: | mirco2 |
Hi ihr,
ich habe eine Aufgabe, wo ich einfach nicht weiter komme (sie ist aus dem Gergii Aufg.6.5)
Ein Gen besitze 2 Allele A und a. In einer Population von N Lebewesen mit diploiden Chromosomsatz kommt das Gen also"N mal vor. Jede Generation bestehe aus N Individuen und enstehe aus der vorherigen durch Zufallspaarung, d.h. jedes Gen der Nachkommensgeneration sucht sich aus der vorherigen ein Eltnerngen und nimmt dessen Ausprägung an
- (Anmerkung: hier werden die einzelnen Gene also unabhängig von ihrem "diploiden Nachbargen" betrachtet, was ein sinvoller Ansatz ist, er schließt allerdings den Fall mit ein, dass die 2 Gene eines Lebewesens vom selben Individuum stammen können, dieser Fall tritt jedoch bei großem N mit vernachlässigbarer Wahrscheinlichkeit ein)-
Sei X(Index n) die Anzahl der A- Gene in der n -ten Generation. X (Index n) ist offenbar eine Markovketteauf E={0,...,2N}.
- X(Index n) hängt also nur von der konkreten Ausprägung der Zufalssvariablen X(Index n-1) also
x(Index n-1) ab. Der Übergang von X(Index n) nach X(Index n+1) werde durch die Übergangsmatrix S=S(x,y) x,y Element E für alle n beschrieben, wobei S(x,y) die Wahrscheinlichkeit X(Index n+1)=y ist, unter der Bedingung X(Index n)=x - Also diese Übergangsmatrix habe ich für diese Aufgabe bestimmt, also
S(x,y)=(x/(2N))( hoch y)*((2N-x)/(2N))hoch(2N-y) für alle x,y Elemet E- ich hoffe Sie ist richtig - am Rande- sie stimmt überein mit S(0,0)=S(2N,2N)=1
und S(0,y!=0)=S(2N,z!=2N)=0, denn 0 und 2N sind absorbierend bzgl. S: Wenn erst einmal alle 2N Gene die Ausprägung A (bzw.a)haben haben auch alle Gene der nachfolgenden Generationen die Ausprägung A (bzw. a)
So , jetzt mein Problem: Wie groß ist die Absorptionswahrscheinlichkeit
h(Index 2N)(x), also die Wahrscheinlichkeit, dass bei X(Index 0)=x
X(Index n)=2N für alle hinreichend großen N, es müsste intuitiv dann gelten h(Index 0)(x)= 1-h(Index 2N)(x) - nach hinreichend großer Zeit wird sich entweder das Allel A oder das Allel a durchsetzen - was zu einer verarmung der genetischen Vielfalt der Population füren würde-So
habt ihr irgendwelche Ansätze zur Berechnung der Absorptions- wahrscheinlichkeit h(Index 2N)(x) - ich habe probiert mit folgenden Formeln, bin aber nicht weitergekommen (auch da S sehr unhandlich ist).
Ich bräuchte irgendwelche Tricks zur Berechnung von Absorptionswahrscheinlichekeiten (allgemein und in diesem Fall)
Die Formeln:
- h(Index 2N)(x)=Summe(y Element E)[S(x,y)*h(Index 2N)(y)] - hier habe ich ein lineares Gleichungssystem von 2N-1 Gleichungenmit 2N-1 Unbekannten- sehr unhandlich für sehr große N - kein konkretes allgemeines Ergebnis
- oder über die Eintzrittszeiten tau(Index z):
h(Index 2N)(x)=P(tau(Index z)<unendlich) unter der Bedingung X(Index 0)=x - kein Ergebnis
Vielen Dank
Mirco
Übrigens, wie kann man den Formeleditor benutzen, bei mir klappt das irgendwie nicht, obwohl ich Javaskipt habe
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