Absolute Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
| Aufgabe | | Geben Sie ein Beispiel für folgende Situation: [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_k [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{\infty} b_k [/mm] konvergieren, [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_kb_k [/mm] aber nicht. |
Hey, die Lösung zur Aufgabe habe ich bereits, mir ist aufgefallen, dass das Produkt von 2 Reihen nur konvergiert, wenn beide absolut konvergieren. Nun würd ich gern wissen, wie ich zeigen kann, dass gilt:
Wenn [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_k [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{\infty} b_k [/mm] absolut konvergieren, dann auch [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_kb_k. [/mm] Hab dazu keinen Ansatz ...
Danke im Voraus!
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Hiho,
zeige: Für k ausreichend groß gilt [mm] $|a_k*b_k| \le |a_k|$
[/mm]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Danke für den Tipp, aber ich verstehe leider nicht, wieso ich GENAU das zeigen soll und ich weiß auch nicht, wie ich das zeigen soll... bin da noch echt ratlos
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Hiho,
> Danke für den Tipp, aber ich verstehe leider nicht, wieso
> ich GENAU das zeigen soll und ich weiß auch nicht, wie ich
> das zeigen soll... bin da noch echt ratlos
Zum warum:
wenn [mm] $|a_k*b_k| \le |a_k|$ [/mm] für [mm] $k\ge k_0$, [/mm] dann auch [mm] $\summe_{k\ge k_0}|a_k*b_k| \le \summe_{k\ge k_0} |a_k|$
[/mm]
Was weißt du nun nach Voraussetzung über [mm] $\summe_{k\ge k_0} |a_k|$ [/mm] ?
Zum wie:
Was ist denn für [mm] $\summe b_k$ [/mm] vorausgesetzt. Was bedeutet das für [mm] $b_k$ [/mm] ? Warum gibt es dann ein [mm] k_0 [/mm] so dass [mm] $|b_k| \le [/mm] 1$ für $k [mm] \ge k_0$
[/mm]
Ein bisschen selbstständig weiterdenken als nur das bereits hier geschriebene zu verwenden wäre schon notwendig.....
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Was weißt du nun nach Voraussetzung über [mm]\summe_{k\ge k_0} |a_k|[/mm]
> ?
Naja, ich weiß ja nur, dass ich mit dem Wurzel- oder Quotientenkriterium u.A. absolute Konvergenz zeigen kann und das die Folge ak eine monotone Nullfolge ist.
> Zum wie:
>
> Was ist denn für [mm]\summe b_k[/mm] vorausgesetzt. Was bedeutet
> das für [mm]b_k[/mm] ? Warum gibt es dann ein [mm]k_0[/mm] so dass [mm]|b_k| \le 1[/mm]
> für [mm]k \ge k_0[/mm]
Naja, [mm] |a_kb_k| \le |a_k| \gdw |b_k| \le [/mm] 1
Schranken von [mm] b_k [/mm] sind somit -1 und 1?
Aber ich bin immer noch nicht schlauer als vorher, sorry weiß nicht worauf du hinaus willst ... :/
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Hiho,
> > Was weißt du nun nach Voraussetzung über [mm]\summe_{k\ge k_0} |a_k|[/mm]
> > ?
> Naja, ich weiß ja nur, dass ich mit dem Wurzel- oder
> Quotientenkriterium u.A. absolute Konvergenz zeigen kann
> und das die Folge ak eine monotone Nullfolge ist.
Beide Aussagen sind blödsinn. Es gibt absolut konvergente Reihen, da kannst du weder mit dem Quotienten- noch mit dem Wurzelkriterium absolute Konvergenz zeigen und die Folge [mm] a_k [/mm] ist in den seltensten Fällen monoton.
Verinnerliche dir das!
Du weißt aber, dass [mm]\summe_{k\ge k_0} |a_k|[/mm] absolut konvergiert, was sagt dir dann das Majorantenkriterium?
> > Zum wie:
> >
> > Was ist denn für [mm]\summe b_k[/mm] vorausgesetzt. Was bedeutet
> > das für [mm]b_k[/mm] ? Warum gibt es dann ein [mm]k_0[/mm] so dass [mm]|b_k| \le 1[/mm]
> > für [mm]k \ge k_0[/mm]
>
> Naja, [mm]|a_kb_k| \le |a_k| \gdw |b_k| \le[/mm] 1
Na das stimmt offensichtlicherweise.
> Schranken von [mm]b_k[/mm] sind somit -1 und 1?
Nein.
> Aber ich bin immer noch nicht schlauer als vorher, sorry
> weiß nicht worauf du hinaus willst ... :/
Weil du meine (bewusst gestellten) Fragen bisher gekonnt ignorierst.
Wenn du weißt, dass [mm] $\summe b_k$ [/mm] konvergiert, was muss dann für [mm] b_k [/mm] notwendigerweise gelten.
Wenn du das nicht weißt: Nacharbeiten!
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Du weißt aber, dass [mm]\summe_{k\ge k_0} |a_k|[/mm] absolut
> konvergiert, was sagt dir dann das Majorantenkriterium?
Das alle Folgen [mm] |b_k| \le a_k [/mm] absolut konvergieren ?
> Weil du meine (bewusst gestellten) Fragen bisher gekonnt
> ignorierst.
Das mach ich nicht bewusst, ich versuche zu antworten, wo ich nur kann ... aber so forderst du mich, das hat seine Vorteile, Danke! 
> Wenn du weißt, dass [mm]\summe b_k[/mm] konvergiert, was muss dann
> für [mm]b_k[/mm] notwendigerweise gelten.
Wir hatten bisher in der Vorlesung nur, dass, wenn eine Reihe [mm] \summe b_k [/mm] konvergiert, dann ist [mm] b_k [/mm] notwendigerweise Nullfolge. Mehr weiß ich nicht ...
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Hiho,
> > Du weißt aber, dass [mm]\summe_{k\ge k_0} |a_k|[/mm] absolut
> > konvergiert, was sagt dir dann das Majorantenkriterium?
>
> Das alle Folgen [mm]|b_k| \le a_k[/mm] absolut konvergieren ?
aha, das ist doch schonmal was, allerdings mit der Formulierung aufpassen.
Nicht die Folgen konvergieren absolut, sondern die durch die Folgen definierten Reihen!
Also nicht [mm] b_k [/mm] sondern [mm] $\summe b_k$ [/mm] konvergiert dann absolut.
Da fehlt zwar noch das zweite Betragszeichen um [mm] a_k, [/mm] aber sonst können wir doch schonmal damit arbeiten.
Wenn wir nun also zeigen, dass für die Folge [mm] $a_k*b_k$ [/mm] ab einem [mm] k_0 [/mm] gilt: [mm] $|a_k*b_k| \le |a_k|$ [/mm] dann wüssten wir, dass [mm] $\summe a_k*b_k$ [/mm] absolut konvergiert.
Soweit klar?
> > Wenn du weißt, dass [mm]\summe b_k[/mm] konvergiert, was muss dann
> > für [mm]b_k[/mm] notwendigerweise gelten.
>
> Wir hatten bisher in der Vorlesung nur, dass, wenn eine
> Reihe [mm]\summe b_k[/mm] konvergiert, dann ist [mm]b_k[/mm]
> notwendigerweise Nullfolge. Mehr weiß ich nicht ...
Aha, mehr brauchen wir doch auch gar nicht!
Mach dir mal klar, dass aus der Tatsache, dass [mm] b_k [/mm] eine Nullfolge ist sofort folgt, dass ab einem [mm] k_0 [/mm] gilt [mm] $|b_k| \le [/mm] 1$ und damit dann ab [mm] k_0:
[/mm]
[mm] $|a_k*b_k| [/mm] = [mm] |a_k|*|b_k| \le |a_k|$ [/mm] und nun folgt mit dem obigen?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Wenn wir nun also zeigen, dass für die Folge [mm]a_k*b_k[/mm] ab
> einem [mm]k_0[/mm] gilt: [mm]|a_k*b_k| \le |a_k|[/mm] dann wüssten wir, dass
> [mm]\summe a_k*b_k[/mm] absolut konvergiert.
> Soweit klar?
Jap, danke
> [mm]|a_k*b_k| = |a_k|*|b_k| \le |a_k|[/mm] und nun folgt mit dem
> obigen?
Folgt nun, dass [mm] a_k [/mm] auch Nullfolge sein muss? (ich muss gestehen, dass ich den 2ten Teil nicht so gut verstanden habe, wie den ersten Teil)
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Hiho,
> > [mm]|a_k*b_k| = |a_k|*|b_k| \le |a_k|[/mm] und nun folgt mit dem
> > obigen?
> Folgt nun, dass [mm]a_k[/mm] auch Nullfolge sein muss? (ich muss
> gestehen, dass ich den 2ten Teil nicht so gut verstanden
> habe, wie den ersten Teil)
Dass [mm] a_k [/mm] eine Nullfolge ist, folgt sofort daraus, dass [mm] $\summe a_k$ [/mm] (absolut) konvergiert (wie bei [mm] b_k [/mm] halt auch).
Aber da [mm] $\summe a_k$ [/mm] absolut konvergiert und [mm] $|a_k*b_k| \le |a_k|$ [/mm] gilt, konvergiert eben auch [mm] $\summe a_k*b_k$ [/mm] absolut.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
Hab ich das jetzt alles richtig verstanden:
z.z. [mm] \summe a_k [/mm] und [mm] \summe b_k [/mm] absolut konvergent, dann auch [mm] \summe a_kb_k.
[/mm]
Da ich weiß, dass [mm] \summe a_k [/mm] absolut konvergiert, sagt das Majorantenkriterium, dass [mm] \summe b_k [/mm] ebenfalls absolut konvergiert,
da [mm] \summe |b_k| \le |a_k|
[/mm]
Daher ist zu zeigen: [mm] |a_k \cdot b_k| \le |a_k| [/mm] (ab einem bestimmten [mm] k_0) \Rightarrow \summe a_k \cdot b_k [/mm] konvergiert absolut.
Da [mm] \summe b_k [/mm] konvergiert [mm] \Rightarrow b_k [/mm] Nullfolge
Somit gilt ab einem bestimmten [mm] k_0: |b_k| \le [/mm] 1 und daraus:
[mm] |a_k \cdot b_k| [/mm] = [mm] |a_k| \cdot |b_k| \le |a_k|
[/mm]
Da nun [mm] \summe a_k [/mm] absolut konvergiert und [mm] |a_k \cdot b_k| \le |a_k|, [/mm] konvergiert [mm] \summe a_k \cdot b_k
[/mm]
Reicht das für einen Beweis?
Ich danke dir auf jeden Fall schonmal, hab so einiges gelernt mit dir ;)
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Hiho,
> z.z. WENN [mm]\summe a_k[/mm] und [mm]\summe b_k[/mm] absolut konvergent, dann
> auch [mm]\summe a_kb_k.[/mm]
> Da ich weiß, dass [mm]\summe a_k[/mm] absolut konvergiert, sagt das
> Majorantenkriterium, dass [mm]\summe b_k[/mm] ebenfalls absolut
> konvergiert, falls [mm] |b_k| \le |a_k|[/mm]
Und: Nimm hier statt [mm] $b_k$ [/mm] lieber [mm] $c_k$, [/mm] denn sonst könnte man denken, dass du das [mm] b_k [/mm] aus der Aufgabenstellung meinst, dem ist ja aber nicht so, sondern du willst das zeigen für [mm] $c_k [/mm] = [mm] a_k*b_k$
[/mm]
> Daher ist zu zeigen: [mm]|a_k \cdot b_k| \le |a_k|[/mm] (ab einem
> bestimmten [mm]k_0) \Rightarrow \summe a_k \cdot b_k[/mm]
> konvergiert absolut.
Das willst du zeigen, ja.
> Da [mm]\summe b_k[/mm] konvergiert [mm]\Rightarrow b_k[/mm] Nullfolge
>
> Somit gilt ab einem bestimmten [mm]k_0: |b_k| \le[/mm] 1 und
> daraus:
>
> [mm]|a_k \cdot b_k|[/mm] = [mm]|a_k| \cdot |b_k| \le |a_k|[/mm]
> Da nun [mm]\summe a_k[/mm] absolut konvergiert und [mm]|a_k \cdot b_k| \le |a_k|,[/mm]
> konvergiert [mm]\summe a_k \cdot b_k[/mm]
>
> Reicht das für einen Beweis?
Mit den Korrekturen: Ja. Allerdings solltest du dir gewisse Dinge selbst nochmal klar machen, z.B. warum [mm] $|b_k| \le [/mm] 1$ ab einem [mm] k_0 [/mm] gilt.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Mo 28.05.2012 | | Autor: | Anazeug |
> Mit den Korrekturen: Ja. Allerdings solltest du dir gewisse
> Dinge selbst nochmal klar machen, z.B. warum [mm]|b_k| \le 1[/mm] ab
> einem [mm]k_0[/mm] gilt.
>
> MFG,
> Gono.
Hey, naja, ist doch klar, dass [mm] |b_k| \le [/mm] 1 wird, da [mm] b_k [/mm] Nullfolge ist? Oder hast du da noch eine wichtigere Begründung?
Und ich danke dir sehr! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:21 Di 29.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Mit den Korrekturen: Ja. Allerdings solltest du dir gewisse
> > Dinge selbst nochmal klar machen, z.B. warum [mm]|b_k| \le 1[/mm] ab
> > einem [mm]k_0[/mm] gilt.
> >
> > MFG,
> > Gono.
>
> Hey, naja, ist doch klar, dass [mm]|b_k| \le[/mm] 1 wird, da [mm]b_k[/mm]
> Nullfolge ist?
Ja
FRED
> Oder hast du da noch eine wichtigere
> Begründung?
>
> Und ich danke dir sehr! :)
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Di 29.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie ein Beispiel für folgende Situation:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_k[/mm] und [mm]\summe_{k=1}^{\infty} b_k[/mm]
> konvergieren, [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_kb_k[/mm] aber nicht.
>
> Hey, die Lösung zur Aufgabe habe ich bereits, mir ist
> aufgefallen, dass das Produkt von 2 Reihen nur konvergiert,
> wenn beide absolut konvergieren.
Das stimmt aber nicht:
Nimm [mm] a_k:=\bruch{(-1)^k}{k} [/mm] und [mm] b_k:=\bruch{1}{k}
[/mm]
[mm] \sum a_k [/mm] konvergiert, [mm] \sum a_k [/mm] konv. nicht absolut , [mm] \sum b_k [/mm] divergiert, aber [mm] \sum a_kb_k [/mm] konvergiert.
FRED
> Nun würd ich gern wissen,
> wie ich zeigen kann, dass gilt:
>
> Wenn [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_k[/mm] und [mm]\summe_{k=1}^{\infty} b_k[/mm]
> absolut konvergieren, dann auch [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_kb_k.[/mm]
> Hab dazu keinen Ansatz ...
>
> Danke im Voraus!
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