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Hallo nochmal,
sorry - momentan "nerve" ich euch recht viel - aber mit den Folgen/Reihen habe ich halt so meine Probleme - ich arbeite allerdings daran :)
Es sei [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Folge, die gegen ein a [mm] \in \IR [/mm] konvergiere. Man beweise, dass dann die Folge [mm] (b_{n})_{n \in \IN} [/mm] definiert durch
[mm] b_{n} [/mm] := [mm] \frac{1}{n+1}(a_{0} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] + ... + [mm] a_{n}) [/mm] für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
ebenfalls gegen a konvergiere.
Die Musterlösung sieht so aus:
Wir behandeln zunchst den Fall, dass der Grenzwert a der Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] gleich 0 ist.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig gegeben, Dann gibt es ein M [mm] \in \IN, [/mm] so dass
[mm] |a_{n}| [/mm] < [mm] \frac{\varepsilon}{2} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] M
Wir setzen
c := [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] + ... + [mm] a_{M}
[/mm]
dann gilt für alle n > M
[mm] |b_{n}| [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] |c + [mm] a_{M+1} [/mm] + ... + [mm] a_{n}| [/mm] < [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] |c| + [mm] \frac{n-M}{n+1}\frac{\varepsilon}{2}
[/mm]
Der Beweis geht noch weiter - aber den letzten Schritt verstehe ich nicht. c "beinhaltet" ja alle Glieder von [mm] a_{n}, [/mm] die kleiner als [mm] \frac{\varepsilon}{2} [/mm] sind - aber wie kommt man da auf diese Abschätzung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Mi 12.12.2007 | | Autor: | piet.t |
> Hallo nochmal,
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> sorry - momentan "nerve" ich euch recht viel - aber mit den
> Folgen/Reihen habe ich halt so meine Probleme - ich arbeite
> allerdings daran :)
Kein Problem, dafür sind wir ja da....
>
> Es sei [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Folge, die gegen ein a [mm]\in \IR[/mm]
> konvergiere. Man beweise, dass dann die Folge [mm](b_{n})_{n \in \IN}[/mm]
> definiert durch
>
> [mm]b_{n}[/mm] := [mm]\frac{1}{n+1}(a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}[/mm] + ... + [mm]a_{n})[/mm] für
> alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> ebenfalls gegen a konvergiere.
>
> Die Musterlösung sieht so aus:
>
> Wir behandeln zunchst den Fall, dass der Grenzwert a der
> Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] gleich 0 ist.
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 beliebig gegeben, Dann gibt es ein M
> [mm]\in \IN,[/mm] so dass
>
> [mm]|a_{n}|[/mm] < [mm]\frac{\varepsilon}{2}[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] M
>
> Wir setzen
>
> c := [mm]a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}[/mm] + ... + [mm]a_{M}[/mm]
>
> dann gilt für alle n > M
>
> [mm]|b_{n}|[/mm] = [mm]\frac{1}{n+1}[/mm] |c + [mm]a_{M+1}[/mm] + ... + [mm]a_{n}|[/mm] <
> [mm]\frac{1}{n+1}[/mm] |c| + [mm]\frac{n-M}{n+1}\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
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> Der Beweis geht noch weiter - aber den letzten Schritt
> verstehe ich nicht.
> c "beinhaltet" ja alle Glieder von
> [mm]a_{n},[/mm] die kleiner als [mm]\frac{\varepsilon}{2}[/mm] sind
Nein, tut es nicht. c ist ja die Summe über den Anfang der Folge [mm] (a_n), [/mm] und das sind ja gerade die Folgenglieder, über die man gar nichts sagen kann. Die könnten beliebig klein aber auch beliebig groß werden. Nachdem wir über die aber gerade nichts sagen können sagen wir einfach, dieser Teil der Summe ist irgend ein c (das natürlich von M abhängt).
> - aber wie kommt man da auf diese Abschätzung?
>
Gehen wir das nochmal Schritt für Schritt durch:
Zuerst Teilen wir die Summe in zwei Teile: die ersten M+1 Summanden und den Rest:
[mm]\frac{1}{n+1} |a_0 + \ldots + a_M + a_{M+1} + \ldots + a_n| \le \frac{1}{n+1} (|a_0 + \ldots + a_M | + | a_{M+1} + \ldots + a_n| )[/mm]
Das ist ja gerade die Dreiecksungleichung.
Wie oben schon gesagt nennen wir die erste Teilsumme jetzt einfach mal c:
[mm]\frac{1}{n+1} (|a_0 + \ldots + a_M | + | a_{M+1} + \ldots + a_n| )= \frac{1}{n+1} (|c| + | a_{M+1} + \ldots + a_n| )[/mm]
Für die [mm] a_i, [/mm] die wir jetzt noch übrig haben wissen wir aber, dass jedes von ihnen betragsmäßig kleiner als [mm] \frac{\varepsilon}{2} [/mm] ist. Von denen haben wir aber genau (n-M) Stück, so dass die zweite Hälte der Summe sicher kleiner ist als [mm] $(n-M)\cdot \frac{\varepsilon}{2}$. [/mm] Also insgesamt:
[mm]\frac{1}{n+1} (|c| + | a_{M+1} + \ldots + a_n| )< \frac{1}{n+1} (|c| + (n-M)\cdot \frac{\varepsilon}{2} )[/mm]
So, jetzt noch das [mm] \frac{1}{n+1} [/mm] reinmultiplizieren und schon steht die gewünschte Abschätzung da.
Alles klar?
Gruß
piet
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