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Hallo!
Kann mir jemand von euch zeigen, wie man auf folgende Abschätzung kommt? Wir haben diese Abschätzung in der Vorlesung verwendet, weiß aber beim besten Willen nicht, wie man darauf kommt.
$ [mm] \integral_{0}^{ \pi} {e^{-R . sin( \phi)} d \phi} [/mm] < [mm] \bruch{ \pi}{R}$
[/mm]
Danke für eure Hilfe,
Christian.
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Ich nehme einmal, daß hier [mm]R>0[/mm] gelten soll.
Zeichne in den Graphen der Sinusfunktion die Sehne von [mm](0,0)[/mm] nach [mm]\left( \frac{\pi}{2},1 \right)[/mm]. Dies zeigt die Gültigkeit von
[mm]\sin{\varphi} \geq \frac{2}{\pi} \, \varphi[/mm] für [mm]\varphi \in \left[ \, 0 \, , \frac{\pi}{2} \right][/mm]
Und jetzt kannst du abschätzen (beachte noch die Symmetrie des Sinusgraphen bzgl. [mm]\varphi = \frac{\pi}{2}[/mm] ):
[mm]\int_0^{\pi}~\operatorname{e}^{-R \sin{\varphi}}~\mathrm{d} \varphi \ = \ 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}~\operatorname{e}^{-R \sin{\varphi}}~\mathrm{d} \varphi \ \leq \ 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}~\operatorname{e}^{-R \frac{2}{\pi} \, \varphi}~\mathrm{d} \varphi \ = \ \frac{\pi}{R} \left( 1 - \operatorname{e}^{-R} \right) \ \leq \ \frac{\pi}{R}[/mm]
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