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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Do 27.10.2005 | | Autor: | Dea |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich soll demnächst einen Vortrag in einem Seminar halten und kämpf mich gerade durch die "Ersten Anwendungen des Cauchy-Integralsatzes". Leider ist das Buch, das ich zur Hand habe, an manchen Stellen etwas ungenau und deshalb hätte ich eine Frage:
Laut Buch gilt
[mm] |\integral_{0}^{\alpha*c} {\exp(-(c+it)^2)i dt}|\le|\integral_{0}^{\alpha*c} {\exp(t^2-c^2) dt}| [/mm] für ein c>0 und [mm] \alpha \in \IR [/mm] mit [mm] 0<|\alpha|\le [/mm] 1
Ich hab momentan:
[mm] |\integral_{0}^{\alpha*c} {\exp(-(c+it)^2)i dt}|\le
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\alpha*c} |{\exp(-(c^2+2ict-t^2))||i| dt}= [/mm]
[mm] \integral_{0}^{\alpha*c} |{\exp(-c^2-2ict+t^2)| dt}=
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{\alpha*c} {{\bruch{ |\exp(-c^2+t^2) |}{|(\exp(it))^{2c}|}} dt}=
[/mm]
und da [mm] |\exp(it)|=1 [/mm] (hier also dann 1^(2c)=1) lass ich diesen Term weg und erhalte
[mm] \integral_{0}^{\alpha*c} {|\exp(-c^2+t^2)| dt}= [/mm]
[mm] \integral_{0}^{\alpha*c} {\exp(-c^2+t^2) dt}
[/mm]
Dass ist zwar nicht die Lösung des Buchs (ich habe zum Schluss keine Betragsstriche mehr, welche aber dann eh im nächsten Schritt im Buch weggelassen werden), aber stimmt es trotzdem?
Oder kennt jemand eine Lösung, bei der die Betragsstriche erhalten bleiben?
Vielen Dank für eure Hilfe,
Dea
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 Do 27.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Dea
Du hast recht, da [mm] e^{r} [/mm] >0 kann man den Betrag auf jeden Fall um die e-Fkt weglassen. Aber die obere Grenze ist möglicherweise negativ, deshalb musst du den Betrag um das Integral stehen lassen. Er fehlt bei dir ab der zweiten Zeile.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Do 27.10.2005 | | Autor: | Dea |
Ja, aber wenn ich den Betrag um das Integral stehen lasse, wie funktioniert dann die restliche Rechnung? Ich bin doch davon ausgegangen, dass ich den Betrag hineinziehe und dann schrittweise verarbeite (also lil=1, lexpl=exp usw.).
Wenn ich den Betrag jetzt stehen lassen muss (und dass muss ich wohl, nachdem die Möglichkeit, dass [mm] \alpha<0 [/mm] ist sogar explizit erwähnt ist), dann weiß ich ja gar nicht mehr, wie ich das rechnen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Dea!
Das ist doch überhaupt kein Problem. 
Du lässt den Betrag draußen stehen und schreibst ihn zudem auch rein.
Schließlich gilt ja (symbolisch):
[mm] $\left| \int f(x)\, dx \right| \le \left| \int |f(x)|\, dx \right|$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:48 Fr 28.10.2005 | | Autor: | Dea |
Dann hab ich ja quasi die Lösung des Buches!
Vielen Dank euch beiden!
Gruß, Dea
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